《量子力学》第7讲厄米算符的本征值与本征函数-1.pptxVIP

量

力

学

子

算

符

的

本

征

值

与

征

角

动

量

的

本

征

值

与

本

征

函

1

数

厄米算符回顾

再论统计诠释

厄米算符的本征值与本征函数角动量的本征值与本征函数

二三四

五、例题

第七讲目录

2

一

、

厄

米

算

符

回

顾

(

1

)

置

算

符

、

转

:

川

。

*

称

B

A

为

A

的

转

置

算

即

符

共

轭

V

2

、

算

符

A

和

y

,

则

称

A

A

的

共

轭

符

*

为

算

3

、

厄

米

共

轭

算

符

V

A,

则

A

的

共

轭

转

置

算

符

A

*

称

为

A

的

厄

米共

轭

算

符

记

为

A

+

即

A

+

=

A

*

:

3

~

一

、

厄

米

算

符

回

顾

(

2

)

相之

4、

厄

米

算

符

厄

算算

符

符

加

,减

仍是

厄

密

算

符

;

厄

积

是否

为

厄

密

算

符

?

V

A

,

若

A

+

=

A

,

则

称

A

米

算

,或

轭

算

符

。

为

厄

共

符

也

就

是

说

,

V

A

,

若

A

=

A*

,

则A

就

是

厄

算

米

5、

厄

算

符

的

平

均

值

定

理

:

厄

米

算

符

的

平

均

值

为

实

数

。

V

A

和

y(

F

),

若

A

+

=

A

,

即

A

=

A

*

逆

定

理

:

在

任

何

状

态

平

均

值

均

为

实

的

算

符

必

为

厄

米

算

符

下

自

米

符。

密

密

一、厄米算符回顾(3)

推论1:量子力学中，力学量用算符表示。由于力学量是实验上可测量，这就要求在任何状态下平均值都是实数，因此相应的算符必须是厄米算符。

推论2:厄米算符平方的平均值大于等于零

ψ(r),若A+=A,即A=Ầ

*

二、再论统计诠释

统计诠释

若粒子处于量子态y(r),则y(r)²表示粒子出现在点┌附近的概率。若测量该粒子的力学量A时，一般来说，可能出现各种不同的结果，各有一定的概率。

问题：1、是否可以确定“各种不同的结果”?(即给出测量值的样本空间。)

2、是否可以确定“不同结果的概率”?

(即给出测量值的概率分布。)

义为： 因为A是厄米算符，A必为实数，因此A也是厄米算符

△A+=(A-A)+=A+-A+=A-A=△A

根据前述的推论2:

1、本征函数(本征态)和本征值(1)

处于量子态y(r)的粒子，对其测量力学量A,可能

出现各种不同的结果，根据概率论，所得结果的平均将趋

于一个确定值，即平均值(期望):A,

三、厄米算符的本征值与本征函数(1)

每次测量结果则围绕平均值有一个涨落(方差)。定

7

三

、

厄

米

算符

的

本

征

值

与

本

征

函

数

(2)

1、

本

征

函

数

(

本

征

态

)

和

本

征

值

(

2

)

若

,

涨

落

为

零

,

其

物

理

含

义

为

:

测

量

A

所

得

的

结

果

是

唯

一

确

定

的

,

换

句

话

说

,

测

量

A

所

得

结

果

是

以

概

率

1

取

值

。

(A

-

A

)

ψ

=

0,

ψ

=

常

数

记

改

8

为：

n

该方程称为算符A的本征方程，称A.为算符

n

A的本征值，yn称为对应于本征值A的]本征态。

量子力学的基本假设4:设体系处在任意状态ψ下，则测量其力学量A时所有可能出现的值，都是相应的线性厄米算符A的本征值A。若体系状态处

n

在厄米算符A的本征态

三、厄米算符的本征值与本征函数(3)

1、本征函数(本征态)和本征值(2)

Ay,Any

ym下，测量结果以概率1

取Am,即取确定值A1