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量
子
力
学
第
十
三
讲
表
象
变
换
1
目
录
三
同
性
谐
振
子
零
、
维
各
向
的
回
顾
一
、
表
象及
其变
换
符
矩
阵
一、
算
的
表
示
三、
量
子
力
学的
矩
阵
形
式
四、
例
题
2
零、三维各向同性谐振子的回顾(1)
三维各向同性谐振子在球坐标下的解:
与E=EN=(N+3/2)hw相对应的本征函数为:Vn,im(r,θ,φ)=Rn,(r)Ym(θ,φ)
N=2n,+l,m=l,l-1,··,-l+1,-l
r
3
零
、
三
维
各
向
同
性
谐
振
子
的
回
顾
(
2)
维
各
向
同
性
谐
振
子
在
直
角
坐
的
三
标下
解:
∵
V
(r
)=
μ
O
r
²
/2
=
u
o²
(
x²
.
,
α
=
x,
y
,z
,
E
=
(n
。
+
/
2)
h
w
a
=X
,
y,
Z
4
振
子
零
、
三
维
各
向
同
性
谐
的
回
顾
(
3)
选
取
(
H
,
H
,
H
)
组
成
力
学
量
完
全
集
。
其
共
同
本
征
函
数
为
各
自
本
征
函
数
的
乘
积
,
即
:
Φ
,1
n,
n
,
=0
,2
..
即
:
5
零
、
三
维
各
向
同
性
谐
振
的
回
顾
(
4)
子
总
能
量
本
征
态
为
φ
(y
)Φ
n
(Z
)
Z
α
=
x,
y
,z
线
性
谐
振
子
解
总
能
量
本
征
值
为
十
1/
2
)h
+
(
n₂
+
/
2)
h
w
=(
N
+
3
/2
),
N
=
n
=
0,
1,
2·
.
6
同一问题联系
以=1为例,能级是三重简并,即有三个态:
因为是在不同坐标系下的解,应该有相互
N
ψ011,ψ01-1,Y₀10,Φ100,Φ010,Φ001
l)的共同本征态。
H,A)的共同本征态。
零、三维各向同性谐振子的回顾(5)
球坐标下yn,m(
直角坐标下φ
nxnynz
直角坐标系下解和球坐标系下解的关系:
可证明:
7
一、表象及其变换(1)
设F代表一组力学量完全集,即F=(A,A,,A)
ψ,是F的共同本征函数,k一般代表一组量子数。
设F代表一组力学量完全集,即F=(A,A₂,…A)
ψ是F的共同本征函数,β一般代表一组量子数。
设ψ是体系的一个量子态,根据态叠加原理,有:
同时(2)
称(1)和(2)式分别为态y在F和F表象中的展开式。
8
一
换
(2
)
、
表象
及
其
变
所
谓
表
象
,
就
是
量
子
态
的
具
体
表
示
方
式
。
称
和
为
态
ψ
在
F
和
F
表
象
中
的
表
示
所以
a=
为表
(a
)
象
和变
换
必
定
有
一
定
的
关
系
,
这
种
变
换
关系即
。
9
一
、
表象
及
其
变
换
(3
)
y(
e2)
a₂
A
x(
e)
矢
量在
不
同坐
标
系
下
的
变
换
:
ai
矢
量
A
在
(
x,y
)
中
,
有
A
=
a
e
+
a₂
e₂
a2
矢
量
A
在
(x
,
y)
中
,
有
A
=
a
e
+
a
₂e2
θ
a₁
x
(e
)
设
a
=
a
)
a
-
)
可
证
明
存
在
一
个
R
θ)
有
:
a
=
R(
O)
a
θ)
c
o
sθ
-
si
n
θ
co
s
θ-
s
in
θ
R
(
=
→
d
et
R
(O
)
=
=
1
s
in
θ
c
o
sθ
si
n
θ
co
s
θ
c
os
θ
s
in
θ
R
(θ
)
→
R
R*
=
R
*
R
=
→
R
R+
=
R
+R
=
1
-
si
nθ
c
os
θ
Rθ
)
为
幺
正
矩
称
阵
0
将写为矩阵形式a=Sa
11
以y左乘上
全空间积分有:
一、表象及其变换(4)
可以通过矩阵s变换成F表象中的表示a=(ai,a₂,…)T
可证明:SS+=s+S=I即变换矩阵s是幺正矩阵。
称上述变换为幺正变换
一、表象及其变换(5)
所以任一量子态y在F表象中的表示a=(a₁,a₂,…)
其中:,即a=Sa
12
一
、
表
象
及
其
变
换
(6
)
所
以
任
一
量
子
态
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