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《量子力学》第13讲表象变换.pptxVIP

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1

象及

其变

一、

三、

学的

四、

2

零、三维各向同性谐振子的回顾(1)

三维各向同性谐振子在球坐标下的解:

与E=EN=(N+3/2)hw相对应的本征函数为:Vn,im(r,θ,φ)=Rn,(r)Ym(θ,φ)

N=2n,+l,m=l,l-1,··,-l+1,-l

r

3

(

2)

标下

解:

V

(r

)=

μ

O

r

²

/2

=

u

(

.

,

α

=

x,

y

,z

,

E

=

(n

+

/

2)

h

w

a

=X

,

y,

Z

4

(

3)

(

H

,

H

,

H

)

,

:

Φ

,1

n,

n

,

=0

,2

..

:

5

(

4)

φ

(y

n

(Z

)

Z

α

=

x,

y

,z

线

1/

2

)h

+

(

n₂

+

/

2)

h

w

=(

N

+

3

/2

),

N

=

n

=

0,

1,

.

6

同一问题联系

以=1为例,能级是三重简并,即有三个态:

因为是在不同坐标系下的解,应该有相互

N

ψ011,ψ01-1,Y₀10,Φ100,Φ010,Φ001

l)的共同本征态。

H,A)的共同本征态。

零、三维各向同性谐振子的回顾(5)

球坐标下yn,m(

直角坐标下φ

nxnynz

直角坐标系下解和球坐标系下解的关系:

可证明:

7

一、表象及其变换(1)

设F代表一组力学量完全集,即F=(A,A,,A)

ψ,是F的共同本征函数,k一般代表一组量子数。

设F代表一组力学量完全集,即F=(A,A₂,…A)

ψ是F的共同本征函数,β一般代表一组量子数。

设ψ是体系的一个量子态,根据态叠加原理,有:

同时(2)

称(1)和(2)式分别为态y在F和F表象中的展开式。

8

(2

)

表象

,

ψ

F

F

所以

a=

为表

(a

)

和变

,

关系即

9

表象

(3

)

y(

e2)

a₂

A

x(

e)

量在

同坐

:

ai

A

(

x,y

)

,

A

=

a

e

+

a₂

e₂

a2

A

(x

,

y)

,

A

=

a

e

+

a

₂e2

θ

a₁

x

(e

)

a

=

a

)

a

-

)

R

θ)

:

a

=

R(

O)

a

θ)

c

o

-

si

n

θ

co

s

θ-

s

in

θ

R

(

=

d

et

R

(O

)

=

=

1

s

in

θ

c

o

si

n

θ

co

s

θ

c

os

θ

s

in

θ

R

)

R

R*

=

R

*

R

=

R

R+

=

R

+R

=

1

-

si

c

os

θ

)

0

将写为矩阵形式a=Sa

11

以y左乘上

全空间积分有:

一、表象及其变换(4)

可以通过矩阵s变换成F表象中的表示a=(ai,a₂,…)T

可证明:SS+=s+S=I即变换矩阵s是幺正矩阵。

称上述变换为幺正变换

一、表象及其变换(5)

所以任一量子态y在F表象中的表示a=(a₁,a₂,…)

其中:,即a=Sa

12

(6

)

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