2025届高考数学二轮总复习专题突破练4利用导数求参数的值或范围.docVIP

专题突破练4利用导数求参数的值或范围

(分值:68分)

1.(17分)(2024江苏徐州一模)已知函数f(x)=x2+ax-lnx,a∈R.

(1)若函数y=f(x)-2x2在(0,2]上单调递减,求a的取值范围;

(2)若直线y=ex与函数f(x)的图象相切,求a的值.

解(1)记y=f(x)-2x2=ax-lnx-x2=g(x),因为g(x)在(0,2]上单调递减,所以g(x)=a-1x-2x≤0对?x∈(0,2]恒成立

所以a≤(2x+1x)min,而2x+1

当且仅当2x=1x

即x=22时,等号成立

所以当x=22时,2x+1x取得最小值为22.所以a≤2

所以a的取值范围为(-∞,22].

(2)设直线y=ex与函数f(x)的图象相切于P(x0,x02+ax0-lnx

又f(x)=2x+a-1x

由题意可知2x0+a-1x0=e,

代入②,得x02+e+1x0-2x0x0-lnx0=ex0,所以1-x02-lnx

因为函数y=1-x-lnx在(0,+∞)内单调递减,且x=1时,y=0,所以关于x0的方程1-x02-lnx0=0有唯一实根1,即x0=1,则a=e+1-2=e-

2.(17分)(2024北京延庆一模)已知函数f(x)=-lnx+(2+a)x-2.

(1)若曲线y=f(x)的一条切线方程为y=x-1,求a的值;

(2)若函数f(x)在区间(1,2)内单调递增,求a的取值范围;

(3)若?x∈1e2,+∞,f(x)无零点,求a的取值范围.

解(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),设切点为(x0,y0),

因为f(x)=-1x+2+a,所以-1x0+2+a=1,解得x0

因为y0=-lnx0+(2+a)x0-2,y0=x0-1,

所以-lnx0+(2+a)x0-2=x0-1,即lnx0=(1+a)x0-1,所以ln11+a=1-1

所以11+a=1,解得a=

(2)因为f(x)=-1x+2+a,f(x)在区间(1,2)内单调递增

所以f(x)≥0在(1,2)内恒成立,

因为x∈(1,2),所以f(x)∈a+1,a+32,

所以a+1≥0,即a∈[-1,+∞).

(3)因为f(x)=-1x+2+a=(2+a)x-

当2+a≤0,即a≤-2时,f(x)0,

所以f(x)在1e2,+∞内单调递减,

因为f1e2=2+(2+a)1e2

所以f(x)在1e2,+∞上无零点,符合题意;

当a-2时,令f(x)=0,则x=12+a

当x∈0,12+a时,f(x)0,当x∈12+a,+∞时,f(x)0,

所以f(x)的单调递减区间是0,12+a,单调递增区间是12+a,+∞,

所以f(x)的最小值为f12+a=-ln12+a-1,当-ln12+a-10,即ae-2时,f(x)

当a=e-2时,f(x)有一个零点12+a=

当-2ae-2时,f(x)的最小值f12+a=-ln12+a-1

因为f1e2=(2+a)1e2

所以?x0∈1e2,12+a,使得f(x0)=0,不符合题意.综上所述,当a∈(-∞,-2]∪(e-2,+∞)时,?x∈1e2,+∞,f(

3.(17分)(2024福建泉州模拟)已知函数f(x)=lnx-mx2+(1-2m)x+1.

(1)若m=1,求f(x)的极值;

(2)若对于任意x0,f(x)≤0恒成立,求整数m的最小值.

解(1)当m=1时,f(x)=lnx-x2-x+1,f(x)=1x-2x-1=-(

由于定义域为(0,+∞),所以当0x12时,f(x)0,f(x)在0,12内单调递增;当x12时,f(x)0,f(x)在12,+∞上单调递减.

所以f(x)在x=12处取得极大值,且极大值为f12=14-ln2,无极小值

(2)因为对于任意x0,f(x)≤0恒成立,所以lnx-mx2+(1-2m)x+1≤0,即lnx+x+1≤m(x2+2x)在(0,+∞)上恒成立,因此m≥lnx+x+1x2

令F(x)=lnx+x+1x2+2x,即

F(x)=-(x

设φ(x)=-(x+2lnx),显然φ(x)在(0,+∞)上单调递减,因为φ(1)=-10,φ12=-12+2ln12=2ln2-120,所以?x0∈12,1,使得φ(x0)=0,即x0+2lnx0=0,当x∈(0,x0)时,φ(x)0,则F(x)0;当x∈(x0,+∞)时,φ(x)0,则F(x)0,所以F(x)在(0,x0)内单调递增,在(x0,+∞)上单调递减,所以F(x)max=F(x0)=lnx0+x0+1x02+2x0=12x0,因为x0∈12

4.(17分)(2024青海西宁模拟)已知函数f(x)=ax-x+alnx存在两个极值点x1,x2

(1)求a的取值范围;

(2)求f(x1)+f(x2)-3a的最小值.

解(1)由题意知