2025届高考数学二轮总复习专题突破练11数列通项与求和.docVIP

专题突破练11数列通项与求和

(分值:91分)

主干知识达标练

1.(15分)(2024河北唐山一模)已知数列{an}是正项等比数列,其前n项和为Sn,且a2a4=16,S5=S3+24.

(1)求{an}的通项公式;

(2)记{an+log2an}的前n项和为Tn,求满足Tn2024的最大整数n.

解(1)设{an}的公比为q(q0),则an=a1qn-1,

依题意可得a

整理得q2+q-6=0,解得q=2或q=-3(舍去),

所以an=a3qn-3=2n-1.

(2)由(1)可知an+log2an=2n-1+n-1,

故Tn=(20+21+22+…+2n-1)+(0+1+2+…+n-1)=2n-1+n(

显然,Tn随着n的增大而增大,

T10=210-1+45T11=211-1+55

所以满足Tn2024的最大整数n=10.

2.(10分)(2022新高考Ⅰ,17)记Sn为数列{an}的前n项和,已知a1=1,Snan是公差为

(1)求{an}的通项公式;

(2)证明:1a1+1a2+

(1)解(方法一)∵Snan是以S1a1=1

∴Snan=1+(n-

∴Sn=n+23an.

当n≥2时,Sn-1=n+13an-1.

①-②得an=Sn-Sn-1=n+23an-n+13

∴n+13an-1=n-13a

∴an=anan-1·an-1an-2·…·a2

又a1=1,∴an=(n+1)×n2×

又当n=1时,a1=1也符合上式,∴an=n(

(方法二)∵Snan是以S1a1=1为首项,以13为公差的等差数列,∴Sn

∴Sn=n+23an.

当n≥2时,Sn-1=n+13an-1.

①-②得an=Sn-Sn-1=n+23an-n+13an-1,∴n+13an-

∴ann+1=

设ann(n+1)=bn,则

∴{bn}为常数列,且b1=a1

∴ann(n+1)=bn=12

(方法三)∵Snan是首项为S1a1=1,公差为13的等差数列,∴Snan=1+13(n-

∴SnSn

∴Sn=S1·S2S1·S3S2·…·

∴an=Sn-Sn-1=n(n+1

又a1=1满足此公式,∴{an}的通项公式为an=n(

(2)证明由(1)知,1an=2

∴1a1+1a2+…+1an=21-12+12-13+

3.(15分)(2024浙江金华高三期末)已知数列{an}是等差数列,a1=3,d≠0,且a1,a7,a25构成等比数列.

(1)求an;

(2)设f(n)=an,若存在数列{bn}满足b1=1,b2=7,b3=25,且数列{f(bn)}为等比数列,求{anbn}的前n项和Sn.

解(1)∵{an}是等差数列,a1=3,d≠0,∴a7=a1+6d,a25=a1+24d.

∵a1,a7,a25构成等比数列,∴(a1+6d)2=a1(

化简可得a1=3d=3,∴d=1,∴an=n+2.

(2)∵f(b1)=f(1)=a1=3,f(b2)=f(7)=a7=9,f(b3)=f(25)=a25=27,

又数列{f(bn)}为等比数列,∴首项为3,公比为3,故f(bn)=3n,

而f(bn)=abn=bn

∴3n=bn+2,

∴bn=3n-2,

∴anbn=(n+2)3n-2(n+2),

设数列{(n+2)3n}的前n项和为Tn,

则Tn=(1+2)×31+(2+2)×32+…+(n+2)×3n①,

3Tn=(1+2)×32+(2+2)×33+…+(n+2)×3n+1②,

①②相减得-2Tn=(1+2)×31+32+…+3n-(n+2)×3n+1,

化简可得Tn=-129+9×(1-3n-1)1

又因为等差数列{2(n+2)}的前n项和为n(2×3+2n+4

综上可得Sn=(2n+3)×3n+1-

关键能力提升练

4.(15分)(2024山东德州高三开学考试)已知数列{an}的前n项和为Sn,满足6Sn=(3n+2)an+2.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若bn=(-1)n+1(6n+1)ana

解(1)因为6Sn=(3n+2)an+2,当n=1时,6S1=6a1=5a1+2,所以a1=2,

当n≥2时,6Sn-1=(3n-1)an-1+2,

所以6Sn-6Sn-1=6an=(3n+2)an-(3n-1)an-1,

所以anan-1

累乘得anan-1·an-

所以an=3n-1(n≥2),

当n=1时a1=2也符合上式,所以an=3n-1.

(2)由(1)得bn=(-1)n+1(6n+1)a

所以T100=12+15-

5.(15分)(2024湖南永州模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,对于任意的n∈N*,都有点P(an,Sn)在直线2x-3y+1=0上.

(1)求数列{an}的通项公式;