2025年新高考艺术生数学突破讲义：数列求和.docxVIP

数列求和

【知识点总结】

求数列前项和的常见方法如下：

（1）公式法：对于等差、等比数列，直接利用前项和公式．

（2）错位相减法：数列的通项公式为或的形式，其中为等差数列，为等比数列．

（3）分组求和法：数列的通项公式为的形式，其中和满足不同的求和公式．常见于为等差数列，为等比数列或者与分别是数列的奇数项和偶数项，并满足不同的规律．

（4）裂项相消法：将数列恒等变形为连续两项或相隔若干项之差的形式，进行消项．

（5）倒序相加：应用于等差数列或转化为等差数列的数列求和．

【典型例题】

例1．（2024·高二·江西抚州·阶段练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子.在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成;因此，此方法也称之为高斯算法.现有函数，则等于（??）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为，

且，

令,

又

，

两式相加得：，

解得，

故选：B

例2．（2024·内蒙古赤峰·模拟预测）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，后人称为“三角垛”，“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，设从上往下各层的球数构成数列，则（????）

??

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】注意到，则.

则

.

故选：B

例3．（2024·高三·江苏南京·开学考试）在数列中，已知，，则的前11项的和为（????）

A．2045 B．2046 C．4093 D．4094

【答案】C

【解析】由，得，而，解得，

所以的前11项的和

.

故选：C

例4．（2024·江西萍乡·二模）已知函数，等差数列满足，则．

【答案】/

【解析】.

依题意是等差数列，

令，

，

结合等差数列的性质，两式相加得.

故答案为：.

例5．（2024·甘肃陇南·一模）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量的总和.大衍数列从第一项起依次为0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,….记大衍数列的通项公式为，若，则数列的前30项和为.

【答案】240

【解析】由题意知，，

故数列的前30项和为

，

故答案为：240

例6．（2024·广东佛山·模拟预测）已知数列满足，且．

(1)求数列的通项公式；

(2)证明：．

【解析】（1），故为常数列，

其中，故，

故，即；

（2），设的前项和为，

则①，②，

两式①-②得，

，

故.

例7．（2024·高三·山西太原·期末）已知在等差数列中，，，是数列的前项和，且满足.

(1)求数列和的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

【解析】（1）设的公差为，由题意得

；

当时，则，，

当时，则，，，

是以1为首项，3为公比的等比数列，

；

（2）由（1）得，

，①

，②

①－②得，

.

例8．（2024·高三·四川巴中·阶段练习）等差数列的前项和为，其中；

(1)求数列的通项公式；

(2)，求数列的前项和.

【解析】（1）设等差数列的公差为，由题可得：，又，解得，

故.

（2），

故.

故数列的前项和.

例9．（2024·高三·山东菏泽·阶段练习）设数列为等差数列，前项和为．

(1)求数列的通项公式；

(2)设的前项和为，求．

【解析】（1）设数列的公差为，由，

则，解得，故；

（2）由（1）得．

.

例10．（2024·宁夏·一模）已知公差不为零的等差数列的前n项和为，，且，，成等比数列．

(1)求的通项公式；

(2)若，证明：．

【解析】（1）设的公差为，则根据题意有，

解之得，所以，

即的通项公式为；

（2）由上可知，

所以，

则，

易知,

.

例11．（2024·高二·江苏南京·期末）已知数列的前n项和为，且满足．

(1)求数列的通项公式；

(2)已知，求数列的前n项和为．

【解析】（1）①，

当时，，解得，

当时，②，

式子①-②得，故，

因为，所以，所以，

所以是以1为首项，2为公比的等比数列，

所以；

（2），

.

例12．（2024·高三·重庆·期末）已知数列是等差数列，且，．

(1)求的通项公式；

(2)表示不超过x的最大整数，如，．若，是数列的前n项和，求．

【解析】（1）设数列的公差为，

则，，解得,

故；

（2）由可得前11项分别为

故的前11项分别为

所以

.

【过关测试】

一、单选题

1．（2024·高二·湖北·阶段练习）高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称．小学进行的求和运算时，他这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，课本上推