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专题十圆的综合
模块一弧中点的应用
考点归纳
1.与垂径定理相关
若点P是AB中点,连接OP,则OP⊥AB.
若过点P作MN∥AB,则MN是圆O的切线
变换条件:连接BP、AP,若∠BPN=∠A,则MN是圆O切线.
2.与圆周角定理相关
若点P是AB中点,点C是圆上一点,则∠PCA=∠PCB.
特别地,若点P是半圆中点,则∠PCA=∠PCB=45°.
若连接PA、PB,则∠PBA=∠PCA=∠PCB=∠PAB.
可得:△PDA∽△PAC;△PDB∽△PBC.△CAP∽△CDB;△CAD∽△CPB
3.垂径定理与圆周角定理结合
如图,AB是直径,点P是AC中点,过点P作PH⊥AB交AB于点H,则△ADP∽△
APC
以下作图可证明:∠PAC=∠APH,即可得△PAD是等腰三角形
典例剖析+巩固训练
【典例1】(达州)如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠BAC的平分线交⊙O于点D,交BC
于点E,过点D作直线DF∥BC.
(1)判断直线DF与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若AB=6,AE=,CE=,求BD的长.
【变式1】(大连)如图,四边形ABCD内接于⊙O,∠BAD=90°,点E在BC的延长线
上,且∠DEC=∠BAC.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若AC∥DE,当AB=8,CE=2时,求AC的长.
【变式2】(阿坝州)如图,AD是△ABC的外接圆⊙O的直径,点P在BC延长线上,且
满足∠PAC=∠B.
(1)求证:PA是⊙O的切线;
(2)弦CE⊥AD交AB于点F,若AF•AB=12,求AC的长.
【变式3】(高州)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,点O
为AB上一点,经过点A,D的⊙O分别交AB,AC于点E,F,连接DF,连接OF交
AD于点G.
(1)求证:BC是⊙O的切线;
(2)设AB=a,AF=b,试用含a,b的代数式表示线段AD的长;
(3)若BE=5,sinB=,求DG的长.
模块二圆中线段计算
1.线段的计算——勾股定理
【典例2】(新疆)如图,AB是⊙O的直径,CD与⊙O相切于点C,与AB的延长线交于
点D,CE⊥AB于点E.
(1)求证:∠BCE=∠BCD;
(2)若AD=10,CE=2BE,求⊙O的半径.
2.线段的计算——三角函数
【典例3】(济宁)如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,D是的中点,E为OD
延长线上一点,且∠CAE=2∠C,AC与BD交于点H,与OE交于点F.
(1)求证:AE是⊙O的切线;
(2)若DH=9,tanC=,求直径AB的长.
【变式】(西藏)如图,在△ABC中.∠ABC=∠ACB,以AC为直径的⊙O分别交AB、
BC于点M、N,点P在AB的延长线上,且∠BCP=∠BAC.
(1)求证:CP是⊙O的切线;
(2)若BC=3,cos∠BCP=,求点B到AC的距离.
3.线段的计算——相似三角形
【典例4】(黄冈)如图,AD是⊙O的直径,AB为⊙O的弦,OP⊥AD,OP与AB的延长
线交于点P,过B点的切线交OP于点C.
(1)求证:∠CBP=∠ADB.
(2)若OA=2,AB=1,求线段BP的长.
模块三圆中的相似
1.基本相似模型
(1)射影定理
如图,AB是直径,CD⊥AB.则:
(2)母子型相似
如图,若∠ABD=∠
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