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一、可积的必要条件
二、可积的充要条件
§9.3可积条件三、可积函数类
一可积的必要条件定理2假设函数在上可积，那么在上必有界.证?反证法??假设函数在上无界，对于的任意分法?????????????????那么至少存在一个子区间，不妨设为
在其上无界.对于任取的，注意到?其中
于是对于任意取定的.因在上无界，对于任意给定使得可见对于的任意分法使得
可见积分和无界，从而函数在上不可积，此与假设相矛盾.注：该定理指出任何可积函数一定是有界，但要注意的是：有界函数不一定可积
例1证明狄利克雷函数在上有界但不可积.的任意分法??????????????：根据有理数和无理数在数轴上的稠密性，在的任一个子区间上既有有理数，也有无理数.证对于
假设取且是假设取且是从而根据定义知，在上不可积.那么积分和上的有理数，上的无理数，那么积分和
二可积的的充要条件
设为对的任一分割.由在上有界知，它在每个上存在上、下确界：作和分别称为关于分割的上和与下和〔或称达布上和与达布下和，统称达布和〕
任给显然有说明：与积分和相比，达布和只与分割有关，而与点的取法无关.在上可积对，使得定理3〔可积准那么〕函数
设，并称为在上的振幅，有必要时也记为由于因此可积准那么又可改述如下：函数在上可积对使得定理
xi-1xi不等式或的几何意义：在上可积，那么图中包围曲线的一系列小矩形面积之和可以到达任意小，只要分割充分的细；反之亦然.假设函数
三．可积函数类：定理9.4闭区间上的连续函数必可积：证?根据在闭区间上连续函数性质，上一致连续，即只要就有????????????????????必在对于
对于的任意分法，只要注意到在闭区间上连续，所以使得从而有??????????所以即由定理知在上可积
振幅
时，有
即?从而
定理6假设证?不妨设那么为常数函数，于是它是连续函数，从而由定理4，上的单调函数，那么是区间上可积.在单调增加.假设在上可积.假设对的任一分割，由的增性，在所属的每个小
于是有由此可见在上可积.区间上的振幅为只要就有由此即推知注意：单调函数即使有无限多个间断点，也仍然可积.
例2试用两种方法证明函数在区间上可积.证明[方法1]由于但由定理6仍保证它在区间上可积是一增函数,虽然它在上有无穷多个间断点
由于因此当充分大时这说明在区间上只有有限个和定理5推知在区间上可积,且存在对的某一分割使得[方法2](利用定理和定理5)任给间断点,利用定理
在区间上可积再把小区间与合并,成为对区间的一个分割由于在区间上的振幅因此得到所以
例3证明黎曼函数在区间上可积,且证任给在区间内使得的有理点只有有限个,设它们为现对区间作分割
使并把中所有小区间分为和两类,其中为含有中点的所有小区间,这类小区间的个数,(当所有恰好都是的分割点),而为中所有其余不含有中点的小区间时才有
而在上的振幅把这两局部合起来,便证得由于在上的振幅于是于是
即在区间因为已经证得在区间上可积,所以全为无理点时,使,从而上可积.当取
作业P.212：1，2，3,4,5
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