2024年高考数学一轮总复习讲义 第六讲　空间的角与距离.docxVIP

第六讲空间的角与距离

知识梳理

知识点一两条异面直线所成角的求法

设两条异面直线a，b的方向向量分别为a，b，其夹角为θ，则cosφ＝|cosθ|＝eq\f(|a·b|,|a||b|)(其中φ为异面直线a，b所成的角)．

知识点二直线和平面所成角的求法

如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝|cosθ|＝eq\f(|n·e|,|n||e|).

知识点三求二面角的大小

1．如图①，AB，CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉.

2．如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cosθ|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．

知识点四利用空间向量求距离

1．点到直线的距离

设过点P的直线l的单位方向向量为n，A为直线l外一点，点A到直线l的距离d＝eq\r(|\o(PA,\s\up6(→))|2－?\o(PA,\s\up6(→))·n?2).

若能求出点在直线上的射影坐标，可以直接利用两点间距离公式求距离．

2．点到平面的距离

如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为d＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))·n|,|n|).

3.线面距、面面距均可转化为点面距进行求解．

注意体积法在求点到平面距离时的应用．

归纳拓展

1．直线的方向向量的确定：l是空间一直线，A，B是l上任意两点，则eq\o(AB,\s\up6(→))及与eq\o(AB,\s\up6(→))平行的非零向量均为直线l的方向向量．

2．平面的法向量的确定：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·a＝0，,n·b＝0.))

3．若二面角A－BC－D的大小为α，平面ABC内的直线l与平面BCD所成角为β，则α≥β，当l⊥BC时，取等号．

4．注意线面角、二面角与点到平面间距离的联系．

双基自测

题组一走出误区

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．(×)

(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．(×)

(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．(×)

(4)若空间向量a平行于平面α，则a所在直线与平面α平行．(×)

题组二走进教材

2．(选择性必修1P20例2)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM所成的角是eq\f(π,2).

[解析]以A为原点，分别以eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．

设正方体的棱长为1，则A(0,0,0)，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2)))，

Oeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，1))，

eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)，1))＝0，

∴ON与AM垂直．即直线ON、AM所成角是eq\f(π,2).

3．(选择性必修1P44T13)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E为CD的中点，则点D1到平面AEC1的距离为eq\f(2\r(6),3)，AD1与平面AEC1所成角的余弦值为eq\f(\r(6),3).

[解析]如图建立空间直角坐标系，则由题意知eq\o(AE,\s\up6(→))＝(－2,1,0)，eq\o(EC1,\s\up6(→))＝(0,1,2)，设平面AEC1的法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(AE,\s\up6(→))·n＝－2x＋y＝0,\o(EC1,\s\up6(→))