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复变函数与积分变换：3-2

一、问题的提出

观察上节例1,

此时积分与路线无关.

观察上节例4,

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由于不满足柯西－黎曼方程,故而在复平面内处处不解析.

由以上讨论可知,积分是否与路线有关,可能决定于被积函数的解析性及区域的连通性.

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二、基本定理

柯西－古萨基本定理

定理中的C可以不是简单曲线.

此定理也称为柯西积分定理.

柯西介绍

古萨介绍

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其中D是C所围内部，C取正向

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关于定理的说明:

(1)如果曲线C是区域B的边界,

(2)如果曲线C是区域B的边界,

定理仍成立.

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三、典型例题

例1

解

根据柯西－古萨定理,有

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例2

证

由柯西－古萨定理,

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由柯西－古萨定理,

由上节例4可知,

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例3

解

根据柯西－古萨定理得

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四、小结与思考

通过本课学习,重点掌握柯西－古萨基本定理:

并注意定理成立的条件.

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思考题

应用柯西–古萨定理应注意什么?

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思考题答案

(1)注意定理的条件“单连通域”.

(2)注意定理不能反过来用.

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Augustin-LouisCauchy

Born:21Aug1789inParis,France

Died:23May1857inSceaux(nearParis),France

柯西资料

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Goursat

Born:21May1858inLanzac,Lot,France

Died:25Nov1936inParis,France

古萨资料

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