2025年中考数学二轮专题复习---截长补短 方法讲解及巩固练习.docxVIP

截长补短

典例精析

【典型题1】★★如图,已知在△ABC中,∠C=2∠B,∠1=∠2.求证:AB=AC+CD.

【思路分析】从结论入手分析，显然没有直接关系能证明AB=AC+CD，必须进行“等量转化”.需要将AB、AC和CD中的1到2条线段转化成其他线段.因此需要做辅助线来实现.

我们可通过添加辅助线，在AB上“构造”一条线段AE使其为求证中的一条线段AC，再证BE和CD相等；或者通过添加辅助线，延长短线段AC，再证明延长后的线段和AB相等。其本质还是通过构造全等三角形来实现.

【答案解析】

证法一，截长法.

如图①,在AB上取一点E,使AE=AC,连接DE.

∵AE=AC,∠1=∠2,AD=AD,

∴△ACD≌△AED,∴CD=DE,∠C=∠3.

∵∠C=2∠B,∴∠3=2∠B=∠4+∠B,

∴∠4=∠B,∴DE=BE,∴CD=BE.

∵AB=AE+BE,∴AB=AC+CD.

证法二，补短法.

如图②,延长AC到点E,使CE=CD,连接DE.

∵CE=CD,∴∠4=∠E.

∵∠3=∠4+∠E,∴∠3=2∠E.

∵∠3=2∠B,∴∠E=∠B.

∵∠1=∠2,AD=AD,

∴△EAD≌△BAD,∴AE=AB.

又∵AE=AC+CE,

∴AB=AC+CD.

【规律总结】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系.截长，指在长线段中截取一段等于已知的线段；补短，指将一条短线段延长，延长部分等于已知线段.该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程.

截长补短

如图①，若证明线段AB、CD、EF之间存在EF=AB+CD,可以考虑截长补短法.

截长法：如图②，在EF上截取EG=AB,再证明GF=CD即可.

补短法：如图③，延长AB至H点，使BH=CD,再证明AH=EF即可.

【典型题2】★★已知在△ABC中,∠A=2∠B,CD是∠ACB的平分线,AC=16,AD=8,求线段BC的长.

【思路分析】正向推导，从题目条件进行分析，根据已知“CD是∠ACB的平分线”，在BC边上截取CE=AC，构造全等三角形，将BC等代转化为CE+EB，为后续计算提供便利条件.

【答案解析】

解:如图在BC边上截取CE=AC,连接DE,易证△ACD≌△ECD(SAS)(证明过程略.)

∴AD=DE,∠A=∠1,∵∠A=2∠B,

∴∠1=2∠B,可得∴∠B=∠EDB,

∴EB=ED,∴EB=DA=8,

BC=EC+BE=AC+DA=16+8=24.

【规律总结】当已知条件中出现如本题图CD为∠ACB的平分线、AD不具备特殊位置时，辅助线的作法一般为在BC边上截取CE=AC，连接DE即可构造全等三角形，利用全等条件解决问题.

【典型题3】★★★如图,Rt△ACB中,AC=BC,AD平分∠BAC交BC于点D,CE⊥AD交AD于点F,交AB于点E.求证:AD=2DF+CE.

【思路分析】从结论分析，显然没有直接关系证明AD=2DF+CE,必须进行“等量转化”.必须将AD、DF和CE中的1到2条线段转化成其他线段.因此需要做辅助线来实现.根据上题思路，我们用截长法解此题.

在AD上取一点G,使AG=CE,连接CG,要证明结论,必然有DF=GF,要证明DF=GF，必定有∠4=∠2，根据题目条件分析证明即可.

【答案解析】解：在AD上取一点G，使AG=CE,连接CG.

∵CE⊥AD,∴∠AFC=90°,∠1+∠ACF=90°.

∵∠2+∠ACF=90°,∴∠1=∠2.

∵AC=BC,AG=CE,

∴△ACG≌△CBE,∴∠3=∠B=45°,

∴∠2+∠4=90°-∠3=45°.

∵∠2=∠1=

∴∠4=45°-∠2=22.5°,

∴∠4=∠2=22.5°.

又∵CF=CF,DG⊥CF,

∴△CDF≌△CGF,∴DF=GF.

∵AD=AG+DG,∴AD=CE+2DF.

【规律总结】截长补短法其实也属于角平分线相关辅助线的一种，同学们做题时应该注重思路分析，采用哪种方法都是殊途同归。同时这两种方法本质上都是构造全等三角形或者特殊三角形，需要深刻理解.

【典型题4】★★★(1)如图①所示,在△ABC中,AD是△BAC的外角平分线,P是AD上异于点A的任意一点,试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由.

(2)如图②所示,AD是△ABC的内角平分线,其他条件不变,试比较PC-PB与AC-AB的大小，并说明理由.

【思路分析】本题从结论入手分析，证明线段和差的不等式，文章开头我们就总结到：“在证明线段和(或差)的不等式时，总是把各有关线段“等量转化”在