2025年新高考艺术生数学突破讲义 专题25 立体几何平行与垂直判断与证明问题 含解析 .docx

专题25立体几何平行与垂直判断与证明问题

【考点预测】

1、证明空间中直线、平面的平行关系

（1）证明直线与平面平行的常用方法：

①利用定义，证明直线与平面没有公共点，一般结合反证法证明；

②利用线面平行的判定定理，即线线平行线面平行.辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段；

③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行；

（2）证明面面平行的常用方法：

①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；

②利用面面平行的判定定理；

③利用两个平面垂直于同一条直线；

④证明两个平面同时平行于第三个平面.

（3）证明线线平行的常用方法：①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理；

2、证明空间中直线、平面的垂直关系

（1）证明线线垂直的方法

①等腰三角形底边上的中线是高；

②勾股定理逆定理；

③菱形对角线互相垂直；

④直径所对的圆周角是直角；

⑤向量的数量积为零；

⑥线面垂直的性质（）；

⑦平行线垂直直线的传递性（∥）.

（2）证明线面垂直的方法

①线面垂直的定义；

②线面垂直的判定（）；

③面面垂直的性质（）；

平行线垂直平面的传递性（∥）；

⑤面面垂直的性质（）.

（3）证明面面垂直的方法

①面面垂直的定义；

②面面垂直的判定定理（）.

【典型例题】

例1．（2024·全国·模拟预测）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（????）

A．若，，，则

B．若，，，则

C．若，，，则

D．若，，，，则

【答案】C

【解析】对于A中，由，，，只能得到垂直于平面内与平行的直线，所以A错误；

对于B中，由面面垂直的性质定理得当时，，当时，与不垂直，所以B错误；

对于C中，由，，，根据线面平行的性质定理，可得，所以C准确；

对于D中，由，，，，只有当为异面直线时，可得，所以D错误.

故选：C.

例2．（2024·高一·吉林·期末）已知m、l是直线，α、β是平面，给出下列命题：

①若l垂直于α内两条相交直线，则；

②若l平行于α，则l平行于α内所有的直线；

③若，且，则；

④若且，则；

⑤若，且，则．

其中正确命题的序号是．

【答案】①④

【解析】对于①，由线面垂直的判断定理可知，若l垂直于a内的两条相交直线，则，故①正确，

对于②，若，如图1，

可知，与是异面关系，故②不正确，

对于③，若，且，无法得到，故无法得到，故③不正确，

对于④，根据面面垂直的判断定理可得，若且，，则，故④正确，

对于⑤，如图2，满足，且，则异面，

故⑤不正确，

故正确命题的序号是①④．

故答案为：①④

例3．（2024·高三·新疆阿克苏·期末）在图中，分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线是异面直线的图形有（填上所有正确答案的序号）．

??

【答案】②④

【解析】对①，连接，为中点，，又，，故直线，共面，故①错误；

对②，、、三点共面，但面，因此直线与异面，故②正确；

对③，如图，连接，为中点，，又，，故直线，共面，故③错误；

对④，、、共面，但面，与异面．故④正确.

故答案为：②④.

例4．（2024·全国·模拟预测）已知直线和平面，则“”是“直线与平面无公共点”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】因为包含和直线与平面相交两种情况，因此若，则直线可以与平面无公共点也可以与平面有一个公共点，

因此“”是“直线与平面无公共点”的必要不充分条件.

故选：B．

例5．（2024·山东烟台·一模）设为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列说法正确的是（????）

A．若，则

B．若与所成的角相等，则

C．若，则

D．若，则

【答案】D

【解析】对于A，平行于同一平面的两条直线可能平行，也可能异面，故A错误，

对于B，与所成的角相等，则可能异面，可能相交，也可能平行，故B错误，

对于C，，则可能垂直，但也可能平行或者相交或者异面，故C错误，

对于D，，则，D正确，

故选：D

例6．（2024·高三·全国·专题练习）如图，在圆锥中，若轴截面是正三角形，为底面圆周上一点，F为线段上一点，（不与S重合）为母线上一点，过D作垂直底面于E，连接，且.求证：平面平面.

【解析】因为，所以，

因为平面，平面，所以平面，

因为垂直底面于垂直底面于O，所以，

因为平面，平面，所以平面，

又，平面，

所以平面平面.

例7．（2024·高三·全国·专题练习）正四棱柱的底面边长为1，高为2，点是棱上一个动点（点与均不重合）.当点是棱的中点时，求证：直线平面；

【解析】因为是棱的中点，连接，

所以，

，，

由勾股定理，得，同理可得，，

又，、平面，

所以直线平面.

例