信号与系统（第五版）课件 第6章 z 变换及其应用.pptx

第6章z变换及其应用;

6.1z变换的定义;

交换运算次序，并利用冲激函数的抽样性，得到采样信号的拉氏变换为

令z=esT，引入新的复变量，式(6.1-1)可写为;

式(6.1-2)是复变量z的函数(T是常数)，可写成

式(6.1-3)是双边z变换的定义。;

如果x(n)是因果序列，则式(6.1-3)的z变换为

式(6.1-4)也称单边z变换。比较式(6.1-3)与式(6.1-4)可见，因果序列的双边z变换就是单边z变换，因此单边z变换是双边z变换的特例。;

序列与其z变换还可以表示为

或

z变换是复变量z的幂级数(也称罗朗级数)，其系数是序列x(n)的样值。连续时间系统中，信号一般都是因果的，所以主要讨论单边拉氏变换。在离散系统分析中，可以用因果序列逼近非因果序列，因此单边与双边z变换都要涉及。;

6.2z变换收敛区及典型序列z变换;

例6.2-1已知序列．

分别求它们的z换及收敛区。;;

X1(z)与X2(z)相同，但X1(z)的收敛区是以|a|为半径的圆外，而X2(z)的收敛区是以|a|为半径的圆内。

此例说明，收敛区与x(n)有关，并且对于双边z变换，不同序列的表示式有可能相同，但各自的收敛区一定不同。所以为了唯一确定z变换所对应的序列，双边z变换除了要给出X(z)的表示式外，还必须标明X(z)的收敛区。;

任意序列z变换存在的充分条件是级数满足绝对可和，即;

1.有限长序列

有限长序列的z变换为

;

;

例6.2-2已知序列x(n)=RN(n)，求X(z)。;

2.右边序列

右边序列是有始无终的序列，即n2-→∞，如图6.2-2-所示。右边序列的z变换为;

当n10时，将右边序列的X(z)分为两部分

式中，第①项是有限长序列，其收敛域为0≤|z|∞；第②项只有z的负幂项，其收敛域RX-|z|≤∞，是以RX-为半径的圆外，且RX-一定大于零。综合①、②两项的收敛区情况，一般右边序列的收敛区为;

例6.2-3已知序列

此例收敛域是以X(z)的极点1/3为半径的圆外。推论：在X(z)的封闭表示式中，若有多个极点，则右边序列的收敛区是以绝对值最大的极点为收敛半径的圆外。;

3.左边序列

左边序列是无始有终的序列，即n1-→-∞，如图6.2-3-所示。左边序列的z变换为;

当n20时，将左边序列的X(z)分为两部分

式中，第①项只有z的正幂项，收敛域0≤|z|RX+；第②项是有限长序列，收敛域为0|z|≤∞。综合①、②两项的收敛区情况，一般左边序列的收敛区为;

例6.2-4已知序列x(n)=-bnu(-n-1)，求X(z)。

注意到此例收敛域是以X(z)的极点b为半径的圆内，推论：在X(z)的封闭表示式中，若有多个极点，则左边序列收敛区是以绝对值最小的极点为收敛半径的圆内。;

4.双边序列

双边序列是无始无终的序列，即n1→-∞，n2→∞，其z变换为

将双边序列的X(z)分为两部分;

式中，第①项是左序列，其收敛域为0≤|z|RX+；第②项是右序列，其收敛域为RX-|z|≤∞。综合第①、②项的收敛区情况可知，只有当RX+RX-时，X(z)的双边z变换存在，收敛区为

式(6.2-4)表明双边序列的收敛区是以RX-为内径，以RX+为外径的一环形区；而当RX+RX-时，X(z)的双边z变换不存在。;

例6.2-5已知双边序列x(n)=c|n|，c为实数，求X(z)。;

讨论：

(1)|c|1时，c|n|波形如图6.2-4所示。;

;

(2)|c|1时，c|n|波形如图6.2-5所示。因为RX-=|c|1/|c|=RX+无公共收敛区，所以X(z)的双边z变换不存在。;

6.2.2典型序列的z变换

1.单位样值序列δ(n)

2.单位阶跃序列u(n)

;

3.斜变序列nu(n);

4.实指数序列

;

5.单边正、余弦序列

由指数序列的z变换

可推得;

将正、余弦序列分解为两个指数序列

同理;

6.双边指数序列;

6.3z变换的性质与定理;

例6.3-1利用线性求双曲余、正弦序列x1(n)=cosh(nθ0)u(n)，x2-(n)=sinh(nθ0)u(n)的z变换。

解已知指数序列及变换;

双曲余弦序列可分解为

利用线性及指数序列的变换，双曲余弦序列的变换为;

同理;

2.双边z变换的位移(