信号与系统（第五版）课件第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析.pptx

第4章连续时间信号和系统的复频域表示与分析;

4.1拉普拉斯变换;

傅氏变换处理某些信号不方便，主要原因是这类信号不收敛，例如阶跃信号u(t)。为了使信号收敛，在进行变换时，让原信号f(t)乘以e-σt。选择合适的σ，使得f(t)e-σt是一个收敛速度足够快的信号，即有

式中，e-σt为收敛(衰减)因子，且f1(t)满足绝对可积条件。则;;

因为e-σt的作用，式(4.1-2)与式(4.1-5)是适合指数阶信号的变换。又由于式(4.1-2)中的f(t)是t0时为零的因果信号，故称“单边”变换。将两式重新表示在一起，单边拉氏变换定义为

亦称s=σ+jω为复频率，F(s)为像函数，f(t)为原函数。;

像函数与原函数的关系还可以表示为

s=σ+jω可以用直角坐标的复平面(s平面)表示，σ是实轴，jω是虚轴，如图4.1-1所示。;

;

2.单边拉氏变换收敛区

收敛区是使f(t)e-σt满足可积的σ取值范围，或是使f(t)的单边拉氏变换存在的σ取值范围。

由式(4.1-3)的推导可见，因为e-σt的作用，使得f(t)e-σt在一定条件下收敛，即有

式中，σ0叫做收敛坐标，是实轴上的一个点。穿过σ0并与虚轴jω平行的直线叫做收敛边界。收敛轴的右边为收敛区，收敛区不包括收敛轴。一旦σ0确定，f(t)的拉氏变换的收敛区就确定了。;

以f(t)随时间变化的趋势，收敛区的大致范围为：

(1)若f(t)是有限时宽的，则收敛区为全s平面，σ0=-∞。例如，单脉冲信号。

(2)f(t)的幅度是随时间衰减的，σ00，例如单边指数信号e-atu(t)(a0)的σ0=-a，其拉氏变换的收敛区如图4.1-2(a)所示。

(3)f(t)的幅度是随时间不变的，σ0=0，例如u(t)、sinω0tu(t)，其拉氏变换的收敛区如图4.1-2(b)所示。

(4)f(t)的幅度是随时间增长的，σ00，例如eatu(t)(a0)的σ0=a，其拉氏变换的收敛区如图4.1-2(c)所示。;

;

当σ00时，收敛区包含虚轴jω，信号的傅氏变换存在；当σ00时收敛区不包含虚轴jω，信号的傅氏变换不存在；当σ0=0时，收敛区虽不包含虚轴jω，但信号的傅氏变换存在，不过有冲激项。

因为指数阶信号的单边拉氏变换一定存在，所以一般可以不标明收敛区。;

4.1.2常用函数的单边拉普拉斯变换

通过求常用函数的像函数，可以掌握求解单边拉氏变换的基本方法。

1.F(s)=F(jω)|s=jω的函数

当拉氏变换的收敛区包括jω轴，F(s)可由F(jω)直接得到，仅将jω换为s，即;

例4.1-1已知f(t)=e-atu(t)(a0)以及求f(t)的拉氏变换。

解f(t)的收敛域如图4.1-2(a)所示，包括jω轴，所以;

2.t的指数函数eatu(t)(a为任意复常数);

利用式(4.1-10)，可以推出以下常用信号的拉氏变换。;

3.t的正幂函数

即;

依此类推，;

特别地，

表4-1列出了常用函数的单边拉氏变换。;;

;

4.1.3双边拉普拉斯变换

1.定义

先讨论e-σt的作用。当σ一定时，若t0时e-σt为收敛因子，则t0时e-σt为发散因子，有

但是，如果有函数在σ(σ1σσ2)给定的范围内，使得;

则函数的双边拉氏变换存在，并记为

或;

2.双边拉氏变换的收敛区

双边拉氏变换收敛区是使f(t)e-σt满足可积的σ取值范围，或是使f(t)的双边拉氏变换存在的σ取值范围。

例4.1-2已知函数f(t)=u(t)+etu(-t)，试确定f(t)双边拉氏变换及收敛区。

解将积分分为两项

对第①项，只有1-σ0，即1σ时积分收敛；收敛区如图4.1-3(a)的阴影部分。;

对第②项，只有σ0时积分收敛，收敛区如图4.1-3(b)的阴影部分，两项的公共收敛区为0σ1。因此只有当0σ1时，∫-∞∞f(t)e-σtdt∞，双边拉氏变换存在，f(t)波形与收敛区如图4.1-4所示。其双边拉氏变换为

通常，双边拉氏变换有两个收敛边界，一个取决于t0的函数，是左边界，用σ1-表示；另一个取决于t0的函数，是右边界，以σ2-表示。若σ1σ2-时，则t0与t0的变换有公共收敛区，双边拉氏变换存在。因此，双边拉氏变换的收敛区是s平面上σ1σσ2-的带状区，如图4.1-5阴影部分。

若σ1≥σ2-时，t0与t0函数的拉氏变换没有公共收敛区，双边拉氏变换不存在。;

;

;

;

例4.1-3已知求所有可能的f(t)。

解因为