初中数学几何《旋转模型费马点》压轴题含答案解析.docxVIP

旋转模型——费马点压轴好题（解析版）

1．（2023秋?萧山区期中）如图，已知∠BAC＝60°，AB＝4，AC＝6，点P在△ABC内，将△APC绕着点A逆时

针方向旋转60°得到△AEF．则AE+PB+PC的最小值为（

）

A．10

B．

C．

D．

【考点】旋转的性质；轴对称﹣最短路线问题．

【分析】连接BF，过点B作BD⊥AF，与AF的延长线交于点D，由旋转可知∠PAE＝∠CAF＝60°，AP＝AE，

PC＝EF，AC＝AF＝6，于是可得△APE为等边三角形，进而得到AE+PB+PC＝PE+PB+EF≥BF，利用含30度

的直角三角形性质可得AD＝AB＝2，BD＝

AD＝

，最后利用勾股定理求出BF的长即可．

【解答】解：如图，连接BF，过点B作BD⊥AF，与AF的延长线交于点D，

则∠ADB＝90°，

∵将△APC绕着点A逆时针方向旋转60°得到△AEF，

∴∠PAE＝∠CAF＝60°，AP＝AE，PC＝EF，AC＝AF＝6，

∴△APE为等边三角形，

∴AE＝PE，

∴AE+PB+PC＝PE+PB+EF，

∵PB+PE+EF≥BF，

∴当点B、P、E在同一条直线上时，PB+PE+EF取得最小值为BF，即AE+PB+PC取得最小值为BF，

∵∠BAC＝60°＝∠CAE，

∴∠BAD＝60°，

∴∠ABD＝30°，

∴AD＝AB＝2，BD＝

AD＝

，

∴DF＝AD+AF＝2+6＝8，

在Rt△BDF中，BF＝

＝

．

＝

，

∴AE+PB+PC取得最小值为

故选：B．

【点评】本题主要考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形性质、勾股定理，熟练

掌握旋转的性质是解题关键．

2．（2023秋?翠屏区校级月考）法国数学家费马提出：在△ABC内存在一点P，使它到三角形顶点的距离之和最小．人

们称这个点为费马点，此时PA+PB+PC的值为费马距离．经研究发现：在锐角△ABC中，费马点P满足∠APB

＝∠BPC＝∠CPA＝120°，如图，点P为锐角△ABC的费马点，且PA＝3，PC＝4，∠ABC＝60°，则费马距离

为

7+2

．

【考点】轴对称﹣最短路线问题；数学常识．

【分析】根据相似三角形的判定和性质，即可求解．

【解答】解：

如图：

∵∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120，∠ABC＝60°，

∴∠1+∠3＝60°，∠1+∠2＝60°，∠2+∠4＝60°，

∴∠1＝∠4，∠2＝∠3，

∴△BPC∽△APB

∴

＝

，

即PB2＝12

∴PB＝2

．

∴PA+PB+PC＝7+2

故答案为：7+2

．

【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解决本题的关键是利用相似三角形的判定和性质．

3．（2022秋?大冶市期末）如图，D是等边三角形ABC外一点，连接AD，BD，CD，已知BD＝8，CD＝3，则当

线段AD的长度最小时，

①∠BDC＝60°

②AD的最小值是

；

5

．

【考点】旋转的性质；三角形三边关系；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．

【分析】以BD为边向外作等边三角形BDE，连接CE，判定△ABD≌△CBE，即可得出CE＝AD，再根据C，D，

E三点共线时，CE有最小值，即可得到AD的最小值为5，此时∠BDC＝60°．

【解答】解：如图所示，以BD为边向外作等边三角形BDE，连接CE，

∵△BDE，△ABC均为等边三角形，

∴BE＝BD，AB＝BC，∠ABC＝∠DBE＝60°，∴∠ABD＝∠CBE，

在△ABD和△CBE中，

，

∴△ABD≌△CBE（SAS），∴CE＝AD，

∵BE＝BD＝DE＝8，CD＝3，

∴当C，D，E三点共线时，CE有最小值，

∴CE＝DE﹣CD＝8﹣3＝5，

∴AD的最小值为5，此时∠BDC＝60°．

故答案为：①60°；②5．

【点评】本题主要考查了旋转的性质以及等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质的运用，解决问题的关

键是以BD为边向外作等边三角形BDE，依据全等三角形的性质得出结论．

4．（2023春?沈阳期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，点B分别是y轴，x轴正半轴上的点，且OA＝OB，

△AOC是等边三角形，且点C在第二象限，M为∠AOB平分线上的动点，将OM绕点O逆时针旋转60°得到

ON，连接CN，AM，BM．

（1）求证：△AMO≌△CNO；

（2）若A点坐标为（0，4）；

①当AM+BM的值最小时，请直接写出点M的坐标；

②当AM+BM+OM的值最小时，求出点M的坐标，并说明理由