考研数学二(线性方程组)模拟试卷17(题后含答案及解析).pdfVIP

学而不知道，与不学同；知而不能行，与不知同。——黄睎

考研数学二（线性方程组）模拟试卷17(题后含答案及解析)

题型有：1.选择题2.填空题3.解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设A是m×n矩阵，r(A)=r．则方程组AX=β

A．在r=m时有解．

B．在m=n时有唯一解．

C．在r＜n时有无穷多解．

D．在r=n时有唯一解．

正确答案：A

解析：此题的考点是解的情况的判别法则以及矩阵的秩的性质．在判别法则

中虽然没有出现方程个数m，但是m是r(A)和r(A｜β)的上限．因此，当r(A)=m

时，必有r(A｜β)=r(A)，从而方程组有解，A正确．C和D的条件下不能确定

方程组有解．B的条件下对解的情况不能作任何判断．知识模块：线性方程组

2．A=，r(A)=2，则()是A*X=0的基础解系．

A．(1，－1，0)T，(0，0，1)T．

B．(1，－1，0)T．

C．(1，－1，0)T，(2，－2，a)T．

D．(2，－2，a)T，(3，－3，b)T．

正确答案：A

解析：由A是3阶矩阵，因此未知数个数n为3．r(A)=2，则r(A*)=1．A*X=0

的基础解系应该包含n－1=2个解，A满足．(1，－1，0)T，(0，0，1)T显然线

性无关，只要再说明它们都是A*X=0的解．A*A=｜A｜E=0，于是A的3个列

(1，－1，0)T，(2，－2，a)T，(3，－3，b)T都是A*X=0的解．由于r(A)=2，

a和b不会都是0，不妨设a≠0，则(0，0，a)T=(2，－2，a)T=2(1，－1，0)T也

是A*X=0的解．于是(0，0，1)T=(0，0，a)T／a也是解．知识模块：线性方程

组

3．设ξ1，ξ2是非齐次方程组AX=β的两个不同的解，η1，η2为它的

导出组AX=0的一个基础解系，则它的通解为()

A．k1η1+k2η2+(ξ1－ξ2)／2．

B．k1η1+k2(η1－η2)+(ξ1+ξ2)／2．

C．k1η1+k2(ξ1－ξ2)+(ξ1－ξ2)／2．

D．k1η1+k2(ξ1－ξ2)+(ξ1+ξ2)／2．

正确答案：B

解析：用排除法．先看特解．(ξ1－ξ2)／2是AX=0的解，不是AX=β的

解，从而A，C都不对．(ξ1+ξ2)／2是AX=β的解．在看导出组的基础解系．在

学而不知道，与不学同；知而不能行，与不知同。——黄睎

B中，η1，η1－η2是AX=0的两个解，并且由η1，η2线性无关容易得出它

们也无关，从而可作出AX=0的基础解系，B正确．在D中，虽然η1，ξ1－

ξ2都是AX=0的解，但不知道它们是否无关，因此D作为一般性结论是不对

的．知识模块：线性方程组

4．设线性方程组AX=β有3个不同的解γ1，γ2，γ3，r(A)=n－2，n是

未知数个数，则()正确．

A．对任何数c1，c2，c3，c1γ1+c2γ2+c3γ3都是AX=β的解；