《量子力学》第6讲算符的运算规则.pptxVIP

作业题

证明：动量表象当中

坐标表象中坐标平均值计算公式为：

根据傅立叶变换可得：

取复共轭后代入〈F)有：

1

作业题

2

量

力

学

的

基

本

设

子

假

1

、

微

观

粒

子

的

状

态

波

函

数

y

=

y

(r

,t

)

描

写

。

波空

间

函点

数

(

的

模

方

y(

t

)I

²表

示

t

时

刻

粒

子

出

现

在

附

近

x,

y,

z)

率

。

2

、

力学

量用算符表示。

3

、

波函数的运动满足

定

谔

程

方

◆

4

、

力学量的本征值概率及平

均值假

定

。

哈

密

顿

筑

符

3

r,

的

概

薛

由

量子力学

第六讲

算符的运算规则厄密算符

4

第6讲目录

算符引入的回顾

行力学量在坐标表象下算符的形式

作算符的运算规则

四、算符的对易关系

五、厄密算符

◆例题

5

一、算符引入的回顾

为了在坐标表象中计算动量的平均值

引入了动量算符

从而，动量平均值可以表示为

6

二、力学量在坐标表象下算符的形式

动能T=p²/2m,动能算符

动能平均值

角动量i二F×p,角动量算符

角动量平均值

7

力

学

量

第

三

章

用

算

符

表

示

o

p

er

a

to

r

表

示

力

学

量

算

符

的

性

质

一

般

运种

算

规对

个

力

学

量

如

以

算

符

(1)

则

:

一

Ô

表

示

波

函

数

的

运

算

。

它

是

一

Oψ

(

x,

y,

z)

=

φ

(x

,y

,

z)

代

表

一

个

变

换

,

是

将

空

间

分

布

的

几

率

振

幅

从

8

动量算符p=-ih√

定义空间反演算符P为：Py(x)=ψ-x)如果Py(x)=ψ(-x)=y(x)

或Py(x)=y(-x)=-y(x),

量子力学中表示可观测力学量的算符都是

线性厄米算符；

◆由于态叠加原理，所以在量子力学中的算

符应是线性算符。

线性算符?

9

例

i

h

V

1

ψ

2

C

1V

+

C

2

V

2

c

₁H

y

₁

+

C

²

Hy

=

₂

仅

当

H

是

线

性

算

符

=

H

(c

₁V

+

C

2

ψ2

)

0

三、算符的运算规则(1)

1、线性算符

V波函数并且V常数c₁,C₂对算符A,如果

A(c₁y₁+C₂Y₂)=c₁Ay₁+

则称A为线性算符，如

2、单位算符

Vy,对算符A,如果Ay

则称A为单位算符，并记为A=I。

11

三

、

算

符

的

运

算

规

则

(

2

)

符

相

等

3

、

算

对

算

符

A

和

B,

如

果

A

y

B

y

,

则

称

两

个

算

符

相

等

记

A

=

B

为

4

算

、

符

之

和

V

y

,

对

算

符

A

和

B

,

如

果

(

A+

B

)y

=

A

y

+

B

y

,

之

则

称

A

+

B

为

算

符

A

和

B

5

、

交

换

律

和

结

合

律

换

v,

若

(

A+

B

)

y

=

(B

+

A

)

y

→

A

和

B

满

足

交

律

若[

A

+

(

B

+

C

]

y=

[

(A

+

B

)

+

C]

y

,

A

、

B

和

C

满

足

结

合

律

2

与

6、算符之积

Vy,对A和B,如果(AB)y=A(By),

则称AB为算符A与B之积

一般说来，算符之积不满足交换律，即

AB≠BA

由此导致量子力学中的一个基本问题：对易关系

三、算符的运算规则(3)

13

四

、

算

符

的

对

易

关

系

(

1

)

、

对

易

设

式

V

A

和

B

,

[

A

,B

]

=

A

B

-

BA

通

常

情

况

下

A,

B

]

,

[

≠

0

2

、

坐

标

动

量

对

易

关

系

最

基

的

本

对

易

关

系

知

动

量

算

符

为

i

hc

C

=

X

已

,y

,

Z.

以

α

=

x

为

例

,

(

x

p

x-

P

x

x)

y

=

i

n

y,

[

x,

Px

]

=

in

4

四、算符的对易关系(2)

同理

但是

即x,pv]=0

α,β=x,y,z

最基本的对易关系式，记住!

15

四

、

算

符

的

对

易

关

系

(

3)

3

、

角

动

量

的

对

易

式

(

)

角动

量

I

=

r×

p

,角

动

量

算

符

I

在

直

角

坐

标

r

=

xe

用

x,

y,

z

的

右

手

螺

旋

关

系

来

记

忆

6

下，

四、算符的对易关系(4)

3、角动量的对易式(2)

17

四

、

算

符

的

对

易

关

系

(

5

)

3

、

角

动

量

的

对

易

式

(

3

)

不

难

验

证