《高等数学》教学课件合集（第1-5章）非AI生成.pptx

第一节函数;一、函数的概念;２．函数的概念;注意2函数的两要素为：;;（5）三角函数;变量称为复合函数的中间变量．复合函数的概念可以推广到多个函数的情形，此时复合函数是通过多个中间变量的传递而构成的．;例1-5设;可见，复合顺序是关键．另外，要注意：若经过变量代入后，复合函数的定义域为空集，则此复合函数无意义，或者说它们不能复合．;解;在不同的区间上用不同的解析式子表示的函数，称为分段函数．;这是一个分段函数，如图;;1.有界性;2.单调性;3.奇偶性;4.函数的周期性;主要内容;一、极限的概念;一、极限的概念;通过上面的观察可知;单侧极限;;定义1-5设函数在点的附近有定义(但在这一点可以没有定义),当自变量以任意方式无限趋近定点时,若函数无限趋近于一个常数A,就称当趋于时，函数以A为极限,记为;例1-11;例1-12;3．数列极限;观察数列的变化趋势：;通过上面演示实验的观察;4．判别极限存在的准则;例如;2．无穷小定理与性质;例1-14求;例1-16证明;;定义1-8;所以：与为同阶无穷小;证(1);推论1;例1-18求;例1-20求;解;例1-22;(1);即;例1-23;例1-25;(2);又因为;50;51;例1-27;例1-28;

;一、连续函数的概念;;1.函数的增量;2．函数连续性的定义;因此，函数在一点连续的充分必要条件是;单侧连续;解;连续函数与连续区间;例1-31;;跳跃间断点;可去间断点;解;如例1-33中,;第二类间断点;解;第一类间断点:可去型,跳跃型.;二、初等函数的连续性;故对初等函数,求极限就是求这一点的函数值．;解;三、闭区间上连续函数性质;;推论（根的存在定理）若函数闭区间上连续，且与异号（即)，则至少存在一个，使得;例1-39证明;1．函数连续的定义;第一节导数的概念;1.变速直线运动的瞬时速度;2.细胞的增殖速度;定义2-1;即;单侧导数;很明显;解;例2-3据1985年人口调查,我国有10.15亿人口,人口平均年增长率为1.489％,根据马尔萨斯(Malthus)人口理论,我国人口增长模??为;解;导数的几何意义;当;;例2-5;可导的函数一定是连续的．;比如;1.导数的定义与实质:瞬时变化率;;一、按定义求导数;3正弦函数和余弦函数的导数;4．对数函数的导数;二、函数四则运算的求导法则;证(1);证(3);104;推论;例2-5已知函数,求;解;解;;三、反函数的求导法则;于是有;例2-10;解;四、复合函数的导数;推广;解;;例2-15证明幂函数的求导公式对任意实数指数成立.;;例2-18放射性同位素碘广泛用来研究甲状腺的功能.现将含量为的碘通过静脉推入病人的血液中,血液中时刻碘的含量为(其中为正常数),试求血;解;五、隐函数的求导法则;例2-20已知函数是由椭圆方程所确定

的,求;例2-21已知函数是由方程确定的.求和;例2-22设生物群体总数的生长规律为;六、对数求导法;所以;1.基本初等函数的导数公式;2.函数的和、差、积、商的求导法则;八、高阶导数;二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.;例2-27;解:;主要内容;第三节微分;一、微分的概念;2.自由落体运动路程的改变量;;定义2-2设函数在某区间内有定义,及

在这区间内,如果函数的增量可表示为;由定义知:;;证明;(2)充分性;;基本初等函数的微分公式;函数和、