《高等数学》第5章 微分方程基础-教学课件（非AI生成）.ppt

0t分析:上式称为自然生长方程，也称logistic方程，它对表达自然环境中生物种群的生长有着重要的意义.式中的图形为S形曲线，称为logistic曲线。解得是该蓄水池中大肠杆菌密度的极限值.*二、药物动力学模型药物动力学是一门研究药物、毒物及其代谢物在机体内的吸收、分布、代谢和排泄过程定量规律的科学.这里仅以最简单的一室模型为例,说明微分方程在这方面的应用.例5-18假定药物以恒定的速率进行静脉滴注，试求体内药量随时间的变化规律.解把机体设想为一个同质单元,并假定药物在体内按一级速率过程消除,消除的速率常数为.这样的一室模型如图所示.*设静脉滴时刻体内的药量为,则有以下数学模型：这是一个可分离变量的一阶微分方程,在初始条件下,求得其解为*0t分析:药量在静脉注射后随时间上升,经过相当长的时间后,体内的药量将趋于一个稳定的水平.而且静脉滴注的速率越大,最后体内药量的稳定水平就越高.*三、流行病数学模型这里举一个最简单的一类流行病模型------无移除的流行病模型.这类模型假定:（1）感染通过一个团体内成员之间的接触而传播,感染者不因死亡、痊愈或隔离而被移除；（2）团体是封闭的,总人数为N,开始时不妨只有一个感染者；（3）团体中各成员之间的接触机会均等,因此易感者转为感染者的变化率与当时的易感人数和感染人数的乘积成正比.*记时刻t的易感人数为S,感染人数为I,根据以上假设可以建立以下的微分方程其中分离变量并积分得*即根据初始条件得所以整理后得*当时,从而描述了易感人数随时间变化的动态关系这一结果预示：对于无移除的流行病最终将导致团体全部成员被感染.0tSN-1*主要内容细菌的繁殖模型药物动力学模型流行病数学模型**例5-11求微分方程的解.解分离变量，得两边积分得*所以把初始条件代入上式,得所以再积分,得把初始条件代入上式,得于是所求的特解为*三、型的微分方程解法分离变量并积分，便得原方程的通解为右端不显含自变量*代入原方程得例5-12解上式可化为两边积分,得*综合起来原方程通解为即将上式分离变量并积分,得*主要内容三种可降阶的二阶微分方程及其解法主要方法：降阶法*第四节二阶常系数线性齐次微分方程*方程为二阶常系数线性微分方程其中、、是已知常数,且为二阶常系数线性齐次微分方程下面介绍方程解的结构.*证明也是的解，其中、为任意常数定理5-1若函数、是方程的两个解，则把、代入方程的左边，得*、线性无关，是指不存在不全为零的常数、,使,即常数否则称、线性相关．定理5-2若函数、是方程的两个线性无关的特解，则是方程的通解,其中、为任意常数*将其代入以上方程,得故有特征方程特征根由定理5-2,求方程的通解的关键是先要求出它的两个线性无关的特解.由于方程具有线性常系数的特点,而指数函数的导数仍为指数函数,故我们可假设方程有形如的解.的解法*方程有两个线性无关的特解所以方程的通解为特征根为(１)当,特征方程有两相异实根根据判别式的符号不同,分下面三种情况讨论*(2)当,方程有两个相等的实根一特解为特征根为若是原方程的解,应有*