新课标备战2025高考数学“3＋1”保分大题强化练六理.docVIP

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“3＋1”保分大题强化练?六?????

前3个大题和1个选考题不容有失

1．已知△ABC的面积为3eq\r(3)，且内角A，B，C依次成等差数列．

(1)若sinC＝3sinA，求边AC的长；

(2)设D为AC边的中点，求线段BD长的最小值．

解：(1)∵△ABC的三个内角A，B，C依次成等差数列，∴B＝60°.

设A，B，C所对的边分别为a，b，c，

由△ABC的面积S＝eq\f(1,2)acsinB＝3eq\r(3)，可得ac＝12.

∵sinC＝3sinA，∴由正弦定理知c＝3a，∴a＝2，c

由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝28，

∴b＝2eq\r(7)，即AC的长为2eq\r(7).

(2)∵BD是AC边上的中线，∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))，

∴eq\o(BD,\s\up6(→))2＝eq\f(1,4)(eq\o(BC,\s\up6(→))2＋eq\o(BA,\s\up6(→))2＋2eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,4)(a2＋c2＋2accos∠ABC)＝eq\f(1,4)(a2＋c2＋ac)≥eq\f(1,4)(2ac＋ac)＝9，当且仅当a＝c时取“＝”，

∴|eq\o(BD,\s\up6(→))|≥3，即线段BD长的最小值为3.

2．设F1，F2分别是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)的左、右焦点，M是C上一点且直线MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.

(1)若直线MN的斜率为eq\f(3,4)，求C的离心率；

(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.

解：(1)依据题设知Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，即eq\f(\f(b2,a)－0,c－?－c?)＝eq\f(3,4)，

整理得2b2＝3ac

将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac

解得eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)或eq\f(c,a)＝－2(舍去)．

故C的离心率为eq\f(1,2).

(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y

所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，故eq\f(b2,a)＝4，即b2＝4a.①

由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.

设N(x1，y1)，由题意知y10，则

eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2?－c－x1?＝c，,－2y1＝2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝－\f(3,2)c，,y1＝－1.))

代入C的方程，得eq\f(9c2,4a2)＋eq\f(1,b2)＝1.②

将①及c＝eq\r(a2－b2)代入②得eq\f(9?a2－4a?,4a2)＋eq\f(1,4a)＝1，

解得a＝7，b2＝4a

故a＝7，b＝2eq\r(7).

3.如图，已知三棱锥P-ABC中，PC⊥AB，△ABC是边长为2的正三角形，PB＝4，∠PBC＝60°.

(1)证明：平面PAC⊥平面ABC；

(2)设F为棱PA的中点，求二面角P-BC-F的余弦值．

解：(1)证明：在△PBC中，∠PBC＝60°，BC＝2，PB＝4，由余弦定理可得PC＝2eq\r(3)，

∴PC2＋BC2＝PB2，∴PC⊥BC，

又PC⊥AB，AB∩BC＝B，

∴PC⊥平面ABC.

∵PC?平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC.

(2)在平面ABC中，过点C作CM⊥CA，以CA，CM，CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.

则C(0,0,0)，P(0,0,2eq\r(3))，A(2,0,0)，B(1，eq\r(3)，0)，F(1,0，eq\r(3))，eq\o(CB,\s\up6(→))＝(1，eq\r(3)，0)，eq\o(CP,\s\up6(→))＝(0,0,2eq\r(3))，eq\o(CF,\s\up6(→))＝(1,0，eq\r(3))．

设平面PBC的法向量为m＝(x1，y1，z1)，

则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(CB,\s\up6(→))·m＝0，,\o(CP,\s\up6(→))·m＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋\r(3)y1＝0，,2\r(3)z1＝0，))

取y1＝－1，