高考数学核心素养提升练习 三角恒等变换.docVIP

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核心素养提升练二十二三角恒等变换

(30分钟60分)

一、选择题(每小题5分，共25分)

1.(2018·成都模拟)计算:sin20°cos10°-cos160°·sin10°=

()

A.32 B.-32 C.-12

【解析】选D.原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°

=sin(20°+10°)=sin30°=12

2.已知sinπ4+θ=13，则sin

A.-79 B.-19 C.19

【解析】选A.因为sinπ4+θ=13，所以22(sinθ+cos

12(1+sin2θ)=19，解得sin2θ=-

3.已知锐角θ满足sinθ2+π6=23，

A.-19 B.

C.19 D.-

【解析】选D.由sinθ2+π

得1-2sin2θ2+π6=1-

即cosθ+π3

由θ为锐角且cosθ+π3=190，所以θ+π3为锐角，所以sin

=cosθ+π

=-1-cos

4.已知sinπ6-α=23，那么cos2α+3sin

A.109 B.-109 C.-59

【解析】选A.因为cos2α+3sin2α

=2sin2α+π6，故cos2α+

2sinπ2-2π6-α=2cos

5.(2019·莆田模拟)已知sinα=255，sin(β-α)=-1010，α，β均为锐角，则角β

A.5π12 B.π3 C.π4

【解析】选C.因为sinα=255，sin(β-α)=-1010，结合α，β均为锐角，可以求得cosα=55，cos(β-α)=310

sinαcos(β-α)+cosαsin(β-α)

=255×31010+55×-1010=25

二、填空题(每小题5分，共15分)

6.2sin2π12-1=________

【解析】由题得2sin2π12-1=2×1-cos

答案:-3

7.设sin2α=-sinα，α∈π2,π，则

【解析】因为sin2α=-sinα，α∈π2

所以cosα=-12，α=2π3，因此tan(π-2α)=tanπ-4

答案:-3

8.(2018·全国卷Ⅱ)已知sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，则sin(α+β)=________.?

【解析】由sinα+cosβ=1与cosα+sinβ=0分别平方相加得

sin2α+2sinαcosβ+cos2β+cos2α+2cosαsinβ+sin2β=1，

即2+2sinαcosβ+2cosαsinβ=1，

所以sin(α+β)=-12

答案:-1

三、解答题(每小题10分，共20分)

9.已知函数f(x)=2sinx2cosx2-2sin2x

(1)求f(x)的单调递增区间.

(2)求f(x)在区间[-π，0]上的最小值.

【解析】(1)f(x)=2sinx2cosx2-2sin2

22sinx-2·1-cosx2=22sinx+22cos

由2kπ-π2≤x+π4≤2kπ+π2，k∈Z，得2kπ-3π4≤x≤2kπ+π4，k∈Z，则f(x)

(2)因为-π≤x≤0，所以-3π4≤x+π4≤π4，当x+π4=-π2，x=-3π

10.(2018·南京模拟)在平面直角坐标系xOy中，锐角α，β的顶点为坐标原点O，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O的交点分别为P，Q.已知点P的横坐标为277，点Q的纵坐标为3

(1)求cos2α的值.

(2)求2α-β的值.

【解析】(1)因为点P的横坐标为277，P在单位圆上，α为锐角，所以cosα=277，所以cos2α=2cos

(2)因为点Q的纵坐标为3314，所以sinβ=3

又因为β为锐角，所以cosβ=1314

因为cosα=277，且α

所以sinα=217

因此sin2α=2sinαcosα=43

所以sin(2α-β)=437×1314-17×

因为α为锐角，所以02απ.

又cos2α0，所以02απ2

又β为锐角，所以-π22α-βπ

所以2α-β=π3

(20分钟40分)

1.(5分)若sin(α+β)=12，sin(α-β)=13，则tanα

A.5 B.-1 C.6 D.1

【解析】选A.因为sin(α+β)=12

所以sinαcosβ+cosαsinβ=12

因为sin(α-β)=13

所以sinαcosβ-cosαsinβ=13

①+②得sinαcosβ=512

②-①得cosαsinβ=112

tanαtanβ

2.(5分)(2018·大连模拟)已知cos4α-sin4α=23且α∈0,π2，则cos2

【解析】因为co