2025年新高考艺术生数学突破讲义：圆锥曲线基础过关小题.docxVIP

圆锥曲线基础过关小题

【考点预测】

一．椭圆的定义

平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为：

注明：当时，点的轨迹是线段；

当时，点的轨迹不存在.

二．椭圆的方程、图形与性质

椭圆的方程、图形与性质

焦点的位置

焦点在轴上

焦点在轴上

图形

标准方程

统一方程

参数方程

第一定义

到两定点的距离之和等于常数2，即（）

范围

且

且

顶点

、

、

、

、

轴长

长轴长短轴长

长轴长短轴长

对称性

关于轴、轴对称，关于原点中心对称

焦点

、

、

焦距

离心率

点和椭圆

的关系

通径

过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦）

弦长公式

设直线与椭圆的两个交点为，,,

则弦长

（其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式）

三、双曲线的定义

平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）.用集合表示为

.

注（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支.

（2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线.

（3）时，点的轨迹不存在.

在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：

=1\*GB3①条件“”是否成立；=2\*GB3②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用.

四、双曲线的方程、图形及性质

双曲线的方程、图形及性质.

标准方程

图形

yx

y

x

B1

B2

F2

A2

A

A1

F

F1

B1F1

B1

F1

x

y

A1

F2

B2

A2

焦点坐标

，

，

对称性

关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称

顶点坐标

，

，

范围

实轴、

虚轴

实轴长为，虚轴长为

离心率

渐近线方程

令，

焦点到渐近线的距离为

令，

焦点到渐近线的距离为

点和双曲线

的位置关系

共渐近线的双曲线方程

弦长公式

设直线与双曲线两交点为，，.

则弦长，

，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数.

通径

通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为

五、抛物线的定义

平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线.

注若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点.

六、抛物线的方程、图形及性质

抛物线的标准方程有4种形式：，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向

标准方程

yx

y

x

O

F

l

yx

y

x

O

F

l

Fy

F

y

x

O

l

图形

y

y

x

O

F

l

对称轴

轴

轴

顶点

原点

焦点坐标

准线方程

三、抛物线中常用的结论

1、点与抛物线的关系

（1）在抛物线内（含焦点）.

（2）在抛物线上.

（3）在抛物线外.

2、焦半径

抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，.

3、的几何意义

为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大.

4、焦点弦

若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论：

（1）.

（2）.

（3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为.

焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）.

（4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）.

【典型例题】

例1．（2024·吉林长春·模拟预测）已知点在抛物线上，是抛物线的焦点，过点的直线与抛物线交于两点，若，则（???）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】D

【解析】由题意可得，即，

由焦点弦公式可得：.

故选：D.

例2．（2024·宁夏固原·一模）已知抛物线的焦点为，顶点为，上一点位于第二象限，若，则直线的斜率为（????）

A．2 B． C． D．

【答案】D

【解析】设，则有，，

则有，即，

故，故.

故选：D.

例3．（2024·高三·河南·阶段练习）古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的中心为原点，焦点均在轴上，椭圆的面积为，且椭圆的离心率为，则椭圆的标准方程为（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】设椭圆的标准方程为，焦距为，

则解得椭圆的标准方程为．

故选：A．

例4．（2024·陕西榆林·二模）已知为双曲线的两个焦点，为上一点，若，且为等腰三角形，则的离心率为（????）

A． B．2 C．或 D．2或3

【答案】C

【解析】因为，所以可设，

依题意可得：，则的离心率；

或，则的离心率.

故选：C

例5．（2024·高三·四川绵阳·阶段练习）过双曲线：左焦点为和点直线与双曲线的交点个数是（????）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【解析】由题意得双曲线：左焦点为，

则