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职教高考函数的单调性

[知识整合]

基础知识

1．增函数

(1)定义：

设函数y＝f(x)在区间(a，b)内有意义．如果对任意的x1，x2∈(a，b)，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)成立，那么，函数f(x)叫作区间(a，b)内的增函数，区间(a，b)叫作函数f(x)的增区间．

(2)图像特征：

函数值y随自变量x的增大而增大，(如图1)自左到右图像呈上升趋势．

图1

2．减函数

(1)定义：

设函数y＝f(x)在区间(a，b)内有意义．如果对任意的x1，x2∈(a，b)，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)成立，那么，函数f(x)叫作区间(a，b)内的减函数，区间(a，b)叫作函数f(x)的减区间．

(2)图像特征：

函数值y随自变量x的增大而减小，(如图2)自左到右图像呈下降趋势．

图2

3．单调区间

如果函数在某个给定区间上是增函数或是减函数，就说函数在此区间上具有单调性，此区间叫作函数的单调区间，单调区间包括单调递增区间和单调递减区间．

基础训练

1．若函数f(x)在(－∞，3]上是增函数，则下列关系式中成立的是()

A．f(－3)f(－1)f(2)B．f(－1)f(－3)f(2)

C．f(2)f(－1)f(－3)D．f(2)f(－3)f(－1)

2．函数y＝x2＋2x＋1的单调递减区间是()

A．(－∞，＋∞)B．(0，＋∞)

C．[－1，＋∞)D．(－∞，－1]

3．已知函数f(x)在R上是减函数，则f(3)______f(5)．(填“”，“”或“＝”)

4．如图，根据函数图像可知，函数的单调减区间为__________，单调增区间为__________．

第4题图

5．(1)已知函数f(x)在R上是增函数，且f(2x＋3)f(x－5)，则实数x的取值范围是____________．

(2)已知函数f(x)在R上是减函数，且f(2x＋3)f(x－5)，则实数x的取值范围是____________．

[重难点突破]

考点1函数的单调性

例1下列函数在区间(0，＋∞)上是减函数的是()

A．y＝x2－2xB．y＝－eq\f(1,x)C．y＝2xD．y＝log0.2x

【解析】选项A：y＝x2－2x在(－∞，1)为减函数；选项B：y＝－eq\f(1,x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上为增函数；选项C：y＝2x在R上为增函数；选项D：y＝log0.2x在(0，＋∞)上为减函数.故选D.

【变式训练】下列函数中在定义域上为增函数的是()

A．y＝2xB．y＝－xC．y＝eq\f(1,x)D．y＝|x|

例2若二次函数y＝－x2＋2x，则此函数的单调增区间是()

A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，＋∞))B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，0))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，＋∞))D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，1))

【解析】将y＝－x2＋2x配方得y＝－(x－1)2＋1，函数图像开口向下，函数的单调增区间是(－∞，1]，故选D.

【变式训练】函数f(x)＝eq\r(x2＋x－6)的单调增区间是()

A．(－∞，－3)B．[2，＋∞)C．[0，2)D．[－3，2]

考点2函数的单调性的应用

例3已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，则不等式f(x)f(2x－3)的解集为

____________．

【解析】由题意知：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x0,2x－30,x2x－3))))，解得eq\f(3,2)x3，∴不等式解集为(eq\f(3,2)，3)．

【变式训练】已知f(x)是R上的增函数，则不等式f(a2－3)f(2a)的解集是____________．

例4二次函数y＝3x2＋(a－1)x＋4在(－∞，1)上是减函数，则a的取值范围是____________．

【解析】由题意知：－eq\f(a－1,2×3)≥1，解得a≤－5，∴a的取值范围是(－∞，－5].

【变式训练】已知函数g(x)＝eq\f(x,4x－a)在