2024年高考数学一轮总复习讲义 第四讲　空间直线、平面垂直的判定与性质.docxVIP

第四讲空间直线、平面垂直的判定与性质

知识梳理

知识点一直线与平面垂直

1．直线与平面垂直

(1)定义：若直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直．

(2)判定与性质

判定定理

性质定理

文字

语言

如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直(线线垂直?线面垂直)

垂直于同一平面的两直线平行

图形

语言

符号

语言

eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α，,b?α，,l⊥a，,l⊥b，,a∩b＝P))?l⊥α

eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α，,b⊥α))?a∥b

过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.

过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离．

一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．

如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．

2．直线与平面所成的角

(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角．

若直线与平面平行或直线在平面内，直线与平面所成角为0，若直线与平面垂直，直线与平面所成角为eq\f(π,2).

(2)线面角θ的范围：θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).

知识点二平面与平面垂直

1．二面角的有关概念

(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．

(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角．

(3)二面角θ的范围：θ∈[0，π]．

2．平面与平面垂直

(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．

(2)判定与性质

判定定理

性质定理

文字

语言

如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直．(线面垂直?面面垂直)

两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.(面面垂直?线面垂直)

图形

语言

符号

语言

eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α，,a⊥β))?α⊥β

eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β，,a?α，,α∩β＝b，,a⊥b))?a⊥β

归纳拓展

1．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．

2．若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．

3．垂直于同一条直线的两个平面平行．

4．一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．

双基自测

题组一走出误区

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(×)

(2)垂直于同一个平面的两平面平行．(×)

(3)若直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.(√)

(4)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.(×)

(5)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．(√)

(6)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.(×)

题组二走进教材

2．(必修2P164T15)(2022·广州中学教学研究会调研)如图1，正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，如图2，沿SE、SF、EF将正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3重合，重合后的点记为G，则在四面体S－EGF中(A)

A．SG⊥平面EFG B．SD⊥平面EFG

C．GF⊥平面SEF D．GD⊥平面SEF

[解析]由题意知SG⊥GF，SG⊥GE，GF∩GE＝G.∴SG⊥平面GEF，故选A.

3．(必修2P152例4)(2022·河南许昌质检)在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M，N分别为AB，BC的中点，则直线MN与平面DCA1所成角的大小为(A)

A.eq\f(π,6) B．eq\f(π,4)

C．eq\f(π,3) D．eq\f(π,2)

[解析]连接AC、AD1，设AD1∩A1D＝H，连HC，易知AH⊥平面A1DC，MN∥AC，

∴∠HCA即为MN与平面DCA1所成的角，

且sin∠HCA＝eq\f(AH,AC)＝eq\f(1,2).

∴MN与平面DCA1所成角为eq\f(π,6).故选A.

题组三走向高考

4．