2025年新高考艺术生数学突破讲义 专题06 函数的概念 含解析 .docx

2025年新高考艺术生数学突破讲义

专题06函数的概念

【知识点梳理】

1、函数的概念

（1）一般地，给定非空数集A，B，按照某个对应法则f，使得A中任意元素x，都有B中唯一确定的y与之对应，那么从集合A到集合B的这个对应，叫做从集合A到集合B的一个函数．记作：x→y=f(x)，x∈A．集合A叫做函数的定义域，记为D，集合{yy=f(x)，x∈A}叫做值域，记为

（2）函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射．

（3）函数表示法：函数书写方式为y=f(x)，x

（4）函数三要素：定义域、值域、对应法则．

（5）同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同．

2、基本的函数定义域限制

求解函数的定义域应注意：

（1）分式的分母不为零；

（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：

（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；

（4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；

（5）三角函数中的正切y=tanx的定义域是xx∈R,

（6）已知fx的定义域求解fgx的定义域，或已知fgx的定义域求fx的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；=2\*GB3②

（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域．

3、基本初等函数的值域

（1）y=kx+b?(k≠0)的值域是R．

（2）y=ax2+bx+c?(a≠0)的值域是：当a0时，值域为{yy≥

（3）y=kx?(k≠0)

（4）y=ax?(a0且a≠1)

（5）y=logax?(a0且

4、分段函数的应用

分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决．

【典型例题】

例1．（2024·山东潍坊·高三阶段练习）下列四个图形中，不是以x为自变量的函数的图象是（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】根据函数定义，在定义域内，对于任意的x，只能有唯一确定的y与其对应，ABC满足要求，

D选项，在定义域内对于x0，有两个确定的y与其对应，D错误.

故选：D

例2．（2024·全国·高三专题练习）已知函数fx-1=x2-

A．2 B．±2 C．2 D．

【答案】D

【解析】令x-1=a,x2-2x=3，解得

故选：D

例3．（2024·全国·模拟预测）设函数fx=8-2

A．-∞,6 B．-∞,3 C． D．

【答案】A

【解析】由题意得，8-2x≥0，解得x≤3,

即函数fx2的定义域为

故选:A

例4．（2024·全国·高三专题练习）已知函数y=f2x的定义域为，则函数y=f(1-x)

A．[0,74]

C．-2,4 D．

【答案】D

【解析】由函数y=f2x的定义域为，得2x∈

因此函数y=f(1-x)ln(x+2)

所以函数y=f(1-x)

故选：D

例5．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知函数fx=kx2-3x+k

A．k≥0或k≤-

C．-32≤

【答案】B

【解析】由题意可得，kx

当k=0时，即-3x

当k≠0时，有k0Δ

综上可得，k≥

故选：B

例6．（2024·全国·高三专题练习）已知f(x)是一次函数，且f(f(x))=4x-1，则

A．f(x)=2x-13或f(x)=-2x+1

C．f(x)=2x-1或f(x)=-2x+1

【答案】A

【解析】设f(x)=kx+bk≠0

k2=4bk+1=-1，求出k和b的值，即可得f(x)

即对任意的x恒成立，

所以k2=4bk+1=

所以f(x)的解析式为f(x)=2x-13

故选：A

例7．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）下列各项不能表示同一个函数的是（????）

A．fx=x2-1x

C．ft=1+t1-t与

【答案】ABD

【解析】对于A:fx定义域为-∞,1∪1,+∞，gx定义域为

对于B:fx=x-1与g

对于C:解析式及定义域都相同，C选项是同一函数，C选项不正确；

对于D:fx定义域为R，gx定义域为-∞,0∪0,+

故选:ABD.

例8．（多选题）（2024·海南省直辖县级单位·高三校考阶段练习）已知函数，若fa=3，则实数a的值可以是（????

A．1 B． C．5 D．-5

【答案】BC

【解析】当a2时，3a+2=3，解得

当a≥2时，log3a2+2=3

综上所述，a=5或a=-

故选：BC

例9．（2024·全国·模拟预测）若函数fx满足关系式2fx+f1

【答案】6

【解析】因为2fx+f1

解得fx=2x-

故选：6

例10．（2024·北京房山·高三统考期末）函数的定义域是.

【答案】-∞

【解析】由题意可得、x≠0，故x12且x

故该函数定义域为-∞,0

故答案为：-∞,0

例11．（20