高中数学：原创第一课时　二次函数及其性质.pptx

第5节一元二次函数、方程和不等式二次函数及其性质

1.二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)＝____________________________.(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为____________.(3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.ax2＋bx＋c(a≠0)(m，n)

2.二次函数的图象和性质R

减增增减

常用结论与微点提醒

考点一二次函数的解析式例1已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则f(x)＝__________________.－4x2＋4x＋7解析法一(利用“一般式”)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.

法二(利用“顶点式”)设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).

法三(利用“零点式”)由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值8，解得a＝－4或a＝0(舍).故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.

感悟提升求二次函数解析式的方法

已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，且图象被x轴截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)的解析式为____________________.f(x)＝x2－4x＋3解析∵f(2－x)＝f(2＋x)对任意x∈R恒成立，∴f(x)图象的对称轴为直线x＝2.又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，∴f(x)＝0的两根为1和3，设f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)，∵f(x)的图象过点(4，3)，∴3a＝3，∴a＝1，∴所求函数的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.训练1

考点二二次函数根的分布例2（Ⅰ）(3)有一个正根，一个负根?，韦达定理

考点二二次函数根的分布例2（Ⅱ）数形结合：?，对称轴，区间端点处的函数值(2)一个根大于1，一个根小于1f(1)=2m-20(3)一个根在(-2,0)内，另一个在(3,4)内-2034

考点二二次函数根的分布例2（Ⅱ）?，对称轴，区间端点处的函数值(4)两根均在(0,2)内或?=0或f(0)=0或f(2)=0检验

例3已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值.解当a＝0时，f(x)＝－2x在[0，1]上单调递减，∴f(x)min＝f(1)＝－2.考点三二次函数的最值∴f(x)＝ax2－2x在[0，1]上单调递减，∴f(x)min＝f(1)＝a－2.

感悟提升闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.

训练3已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.(1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域；解当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]，

(2)若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值.

例5设函数f(x)＝mx2－mx－1，命题“?x∈[1，3]，f(x)≤－m＋2”是假命题，则实数m的取值范围为()D解析因为命题“?x∈[1，3]，f(x)≤－m＋2”是假命题，所以?x∈[1，3]，f(x)－m＋2为真命题，又f(x)－m＋2，即mx2－mx－1－m＋2，即m(x2－x＋1)3，考点四一元二次不等式恒成立问题

练习若不等式x2＋px4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是()A.[－1，3] B.(－∞，－1]C.[3，＋∞) D.(－∞，－1)∪(3，＋∞)D解析不等式x2＋px4x＋p－3，可化为(x－1)p＋x2－4x＋30，由已知可得[(x－1)p＋x2－4x＋3]min0(0≤p≤4)，令f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3(0≤p≤4)，解得x－1或x3.

恒成立问题求参数的范围的解题策略(1)弄清楚自变量、参数.一般情况下，求谁的范围，谁就是参数.(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ，一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论.方法归纳：

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