2025年新高考艺术生数学突破讲义 专题29 排列组合 含解析 .docx

专题29排列组合

【考点预测】

知识点1、排列与排列数

（1）定义：从个不同元素中取出个元素排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．从个不同元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示．

（2）排列数的公式：．

特例：当时，；规定：．

（3）排列数的性质：

①；②；③．

（4）解排列应用题的基本思路：

通过审题，找出问题中的元素是什么，是否与顺序有关，有无特殊限制条件（特殊位置，特殊元素）．

注意：排列数公式的两种不同表达形式本质是一样的，但作用略有不同，常用于具体数字计算；而在进行含字母算式化简或证明时，多用．

知识点2、组合与组合数

（1）定义：从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示．

（2）组合数公式及其推导

求从个不同元素中取出个元素的排列数，可以按以下两步来考虑：

第一步，先求出从这个不同元素中取出个元素的组合数；

第二步，求每一个组合中个元素的全排列数；

根据分步计数原理，得到；

因此．

这里，，且，这个公式叫做组合数公式．因为，所以组合数公式还可表示为：．特例：．

注意：组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题时，一般都是按先取后排（先组合后排列）的顺序解决问题．公式常用于具体数字计算，常用于含字母算式的化简或证明．

（3）组合数的主要性质：①；②．

（4）组合应用题的常见题型：

=1\*GB3①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型

=2\*GB3②“至少”或“最多”含有几个元素的题型

知识点3、排列和组合的区别

组合：取出的元素地位平等，没有不同去向和分工．

排列：取出的元素地位不同，去向、分工或职位不同．

注意：排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置数目问题，它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题．排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合综合问题的基本思维是“先组合，后排列”．

知识点4、解决排列组合综合问题的一般过程

1、认真审题，确定要做什么事；

2、确定怎样做才能完成这件事，即采取分步还是分类或是分步与分类同时进行，弄清楚分多少类及多少步；

3、确定每一步或每一类是排列（有序）问题还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少个元素；

4、解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略．

【典型例题】

例1．（新疆维吾尔自治区2024届高三学期第一次适应性检测数学试题）在古典名著《红楼梦》中有一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉六种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，最后还需加入精心熬制的鸡汤，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（????）

A．72种 B．36种 C．12种 D．6种

【答案】C

【解析】由题意可知六种原料中可以把香菌、新笋、豆腐干看成一种，即有种放法，

又茄子净肉放在鸡脯肉后，则有种放法.

故选：C

例2．（贵州省六校联盟2024届高考实用性联考（三）数学试题）2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（决赛）于2023年11月26日至12月3日在湖北省武汉市武钢三中举行，赛后来自某所学校的3名同学和2名老师站成一排合影，若两名老师之间至少有一名同学，则不同的站法有（????）种.

A．48 B．64 C．72 D．120

【答案】C

【解析】根据题意，分两步进行：

第一步：安排3名同学站成一排合影，不同的站法共种；

第二步：安排2名老师，采用插空法，不同的站法共种；

由分步乘法计数原理可得：不同的站法共种.

故选：C

例3．（山东省烟台市、德州市2024届高三学期高考诊断性考试数学试题）将8个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子中，要求每个盒子中至少放2个小球，则不同放法的种数为（????）

A．3 B．6 C．10 D．15

【答案】B

【解析】依题意，每个盒子放入2个球，余下2个球可以放入一个盒子有种方法，放入两个盒子有种方法，

所以不同放法的种数为.

故选：B

例4．（高三数学临考冲刺原创卷（一））某中学高三14班有50名学生，其中男生20人，女生30人，现采取分层随机抽样的方式从该班选取5名学生，再从选取的5名学生中随机选取3名学生参加学校的演讲比赛，则既有男生又有女生的选取方式有（????）

A．6种 B．7种 C．8种 D．9种

【答案】D

【解析】由题知男生和女生的人数比例是，则从50名学生中选5名学生，

选到的男生有2（名），女生有（