2024年高考数学一轮总复习讲义 第六讲　空间的角与距离.pdfVIP

第六讲空间的角与距离

知识梳理

知识点一两条异面直线所成角的求法

ababθcosφ|cosθ|

设两条异面直线，的方向向量分别为，，其夹角为，则＝

＝|a·b|(其中φ为异面直线a，b所成的角)．

|a||b|

知识点二直线和平面所成角的求法

如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α

|n·e|

φenθsinφ|cosθ|.

所成的角为，向量与的夹角为，则有＝＝

|n||e|

知识点三求二面角的大小

1．如图①，AB，CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，

→→

ABCD

则二面角的大小θ＝〈，〉.

2nnαlβαβ

．如图②③，，分别是二面角－－的两个半平面，的法向量，则

12

|n·n|

二面角的大小θ满足|cosθ|＝12，二面角的平面角大小是向量n与n的夹角(或

12

|n||n|

12

其补角)．

知识点四利用空间向量求距离

1．点到直线的距离

设过点P的直线l的单位方向向量为n，A为直线l外一点，点A到直线l

→→

22

|PA|PA·n

的距离d＝－.

若能求出点在直线上的射影坐标，可以直接利用两点间距离公式求距离．

2．点到平面的距离

如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平

→

|AB·n|

αd.

面的距离为＝

|n|

3.线面距、面面距均可转化为点面距进行求解．

注意体积法在求点到平面距离时的应用．

归纳拓展

→

AB

1．直线的方向向量的确定：l是空间一直线，A，B是l上任意两点，则及

→

与AB平行的非零向量均为直线l的方向向量．

2．平面的法向量的确定：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法

n·a＝0，

向量，则求法向量的方程组为