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*******************微积分-概述与应用本课程将介绍微积分的基本概念、核心理论和广泛应用。微积分的起源与发展1牛顿和莱布尼茨现代微积分的奠基人2古代文明对微积分概念的雏形探索3中世纪和文艺复兴微积分概念的逐步发展函数的概念对应关系函数描述了一种特定的对应关系，将一个集合中的元素与另一个集合中的元素一一对应。自变量和因变量函数中的输入称为自变量，输出称为因变量。函数的表示函数可以用公式、图表、图像等多种方式来表示。函数的基本性质定义域函数定义域是函数的自变量可以取值的范围。值域函数值域是函数的自变量取遍定义域时函数的值所构成的集合。单调性函数在定义域内单调递增或单调递减。奇偶性函数满足f(-x)=-f(x)为奇函数，满足f(-x)=f(x)为偶函数。基本函数及其性质线性函数形如y=ax+b，图像为直线，单调性由a的符号决定。二次函数形如y=ax2+bx+c，图像为抛物线，对称轴为直线x=-b/2a。指数函数形如y=a^x，图像为曲线，单调性由a的大小决定。对数函数形如y=log_a(x)，图像为曲线，定义域为(0,+∞)。极限概念及性质极限的定义当自变量趋近于某个值时，函数值无限接近于某个特定值，这个特定值称为函数的极限。极限的性质极限的唯一性：函数在一点的极限如果存在，则该极限是唯一的。极限的运算：函数极限的运算满足加减乘除的运算法则。夹逼定理：如果两个函数的极限相等，且另一个函数夹在两者之间，那么该函数的极限也等于这两个函数的极限。导数的定义和基本性质定义函数f(x)在x=a处的导数定义为：f(a)=lim(h→0)[f(a+h)-f(a)]/h性质-导数是函数在某一点的变化率。-导数反映了函数在该点的切线斜率。-如果导数为正，函数在该点单调递增。-如果导数为负，函数在该点单调递减。导数运算法则1和差法则两个函数的和或差的导数等于它们的导数的和或差。2积法则两个函数的积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第二个函数的导数乘以第一个函数。3商法则两个函数的商的导数等于分母的平方上的分子函数的导数乘以分母减去分母的导数乘以分子函数。显函数与隐函数的导数显函数显函数是能够直接表示为一个变量关于另一个变量的表达式，例如y=f(x)。隐函数隐函数是通过一个方程来间接定义的函数，例如x^2+y^2=1，其中y不是直接表示为x的表达式。求导对于显函数，可以直接对表达式进行求导。而对于隐函数，需要利用隐函数求导法则来求导。高阶导数定义当函数的导数本身可导时，我们就可以求其导数，称之为高阶导数。例如，函数的二阶导数就是其导数的一阶导数。符号高阶导数用f(x)、f(x)、f(4)(x)等符号表示，分别表示函数的二阶导数、三阶导数、四阶导数等。应用高阶导数在物理学、工程学和经济学等领域有广泛的应用，例如研究物体的加速度、曲线曲率和函数的凹凸性。导数在几何和物理中的应用导数在几何学中用于描述函数图形的切线斜率，可以帮助我们理解函数的局部变化趋势。比如，我们可以通过求导数来确定函数的极值点、拐点等关键点，并绘制函数图像。在物理学中，导数可以用来描述物体的速度、加速度、功率等物理量。比如，我们可以用速度函数的导数来计算加速度，或者用功率函数的导数来计算能量的变化率。微分概念及性质1微分定义微分是函数变化量的线性近似，它表示函数在某一点附近的变化趋势。2微分性质微分具有线性性，可加性和乘积性质，这些性质在求解微分方程和其他数学问题中非常有用。3微分与导数微分和导数密切相关，导数是函数变化率，而微分则是函数变化量的线性近似。微分运算法则和差法则两个可微函数的和或差的导数等于它们的导数的和或差。积法则两个可微函数的积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数。商法则两个可微函数的商的导数等于分母的平方乘以分子导数减去分子乘以分母导数。链式法则复合函数的导数等于外层函数的导数乘以内层函数的导数。微分在近似计算中的应用微分可以用来近似计算函数的值。例如，我们可以使用微分来近似计算一个函数在某个点的值。这在许多应用中都是很有用的，例如在数值分析和工程学中。另一个应用是使用微分来近似计算一个函数的导数。这在许多应用中都是很有用的，例如在优化和数值积分中。不定积分概念反导数原函数积分常数基本积分公式幂函数∫xndx=xn+1