《量子力学》第5讲一维定态问题的一般性质.pptxVIP

能量本征方程

薛定谔方程i若V(F,t)不显含t,则y(r,t)=ye(7)exp(-iEt/h)其中，yE(F)满足的方程

称为能量本征方程，ψE(r)称为能

量本征函数，E称为能量本征值

1

维无深方獒阱

束缚态

2

、

方

势

垒

的

反

射

与

透

射

二

势

垒

贯

穿

或

隧

穿

效

应

V₀

eik

x

+R

e

-ik

x

Te

ikx

透

射

波

入

射

波

反

射

波

0

a

3

一维谐振子的能级

E=En=(n+1/2)hw,n=0,1,2,…

讨论(1)能级是均匀分布的；

(2)相邻能级差相同：hw;

(3)基态能量E。=hw/2≠9称为零点能；

(4)谐振子吸收ho能量后，有可能从下

能级跃迁到上能级。相反，放出hw能量后，

有可能从上能级跃迁到下能级。

3

2

1

0

4

维

谐

的

四

、

一

能

量

本

征

态

振

子

y

(s

)=

A

e

²

H

S

,n

=0

,1.

2,

要

归

其

中

,

A

根

据

y

(

ξ

的

一

化

条

件

确

定

,

即

由

于

得

到

A=

A,

=

[a

/(√

π

2n

!)]

/2

m

o

/h

能

量

本

征

态

y(

S)

=

4n

(ξ

)=

A,

e

aR²

/2

H,

(a

x)

正

交

归

一

化

5

假

态

叠

加

理

原

三

、

量

子

力

基

本

设

学

之

四

、

将

体

系

的

状

态

波

函

用

算

符

f

的

本

征

函

数

4

数

y

n

展

开

其

中

:

F

,

F

p

。

=

λ

p

,

Φ

=

λ

Φ

在

系

态

中

测

量

力

学

结

果

为

λ

。

的

概

则

体

y

量

F

得

到

率

到

结

围

内

的

概

率

是

为

得

果

入

→

λ

+

d

λ

范

的

结

论

何

一

个

量

子

态

任

意

一

组

广

义

:

任

都

可

按

正

交

、

完

备

态

分

归

一

、

解

。

6

目录

一、正交、归一、完备态

二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质

三、有限深对称方势阱中的束缚态

7

一、正交、归一、完备态(1)

态叠加原理：量子态可按任意一组正

交、归一、完备态矢量来分解，即

y=∑Cn4

n

ψ→量子态，ψn→态矢量，也称基矢cn→展开系数

n

8

一、正交、归一、完备态(2)以无限深方势阱中的粒子为例

由傅立叶级数展开，在(0,a)内，任何函数可表示为

n=1,2,3,…

的内积

10

→完备性。物理上，ψ(x)是无限深方势阱中

粒子的波函数→态叠加原理。

y,(x)→由能量本征方程确定→构成体系的基矢

如何确定cn

cn=(ψn,ψ)→ψn和y

一、正交、归一、完备态(3)

、

正

交

、

归

、

完

备

态

(

3

)

一

一

证

:

由

完

备

性

,

这

里

用

到

1

一、正交、归一、完备态(4)

处于谐振子势中的粒子，由能量本征方程确定的分立波函数为y,(x)=A,ea²x²2Hψn构成一组正交、归一、完备的基矢。由H,正交、归一可

得y的正交、归一性

可以证明，y,具有完备性，即具有将所有函数展开的能力：。由态叠加原理，

y(x)就是粒子的量子态。

12

归

一

、

交

、

一

、

完

备

态

(

5

)

结

论

:

由

能

量

本

征

程

解

出

的

y

n

(x

)

,

通

常

被

称

方

为

态

矢

量

,

也

称

基

矢

,

它

们

是

正

交、

归

一

、

完

备

的

。

限

无

论

在

无

深

方

势

阱

还

是

谐

振

子

中

,

粒

子

的

子

态

都

能

来

用

这

样

的

态

矢

展

即

,

开

,

其

中

展

开

系

数

粒

子

处

于

一

态

矢

的

概

率

为

|

cn

I²

=

(

yn,

ψ

)I

²

,

同

时

,

某

c

,P

²

也

是

粒

子

具

有

矢

y

n

对

应

的

能

量

E

的

概

率

。

态

3

正

量

14

二

、

一

维

势

场

中

粒

子

能

量本

概念

征

(

态

的

一

性

般

基

本

)

态

、

定

薛

定

谔

方

程

若

V

(F

,t

)不

显

含

t

,

则

令

ψ

(r

,t

)=

y

E

(F

)f(

t)

,

可

=

时

体

且f

(t)

~

ex

p(

-iE

t/

h)

。

若

已

知t

0

系

处

于

某

一

个

能

量

本状

征态

(

r

,t

=

0)

=

ψ

E

(r

)

,

则

在

t

0

y

E,

(r

)e

后

,

体样