《量子力学》第11章氢原子碱金属原子.pptxVIP

子

量

力

学

氢

原

子

碱

金

属

原

子

1

录

目

一

、

心力场问题回

顾

二

、

氢原子

▲

二、

金属原子

价

电子

2

碱

的

中

(一)中心力场下的能量本征方程问题回顾

球坐标

3

等式两边同除RY整理可得：

径向方程

角向方程

整理可得：

4

中心力场问题可以分离变量简化为两个方程，，

另一个是径向方程。下面来分别讨论

全2γ=²γ

论²Y,(θ,φ)=l(l+1)h

角向方程就是角动量平方算符的本征值方程，它的解已得到了.于是中心力场问题归结为求解径向方程：

显然，对于l=0,1,2…不同的值，有不同的径向先求得方程的通解，再考虑波函数标准条件，即

能级和径向波函数：它们都与两个量子数n和I有

方程。可得到

关。

5

一

个是角向方程

²

Y

(θ,φ)

能级E,和波函数R(r)。一般讲，

角向方程的解

一、中心力场的守恒量-角动量

二、中心力场能级简并

角动量算符的对易关系

三、中心力场力学量完全集

(H,i²,l)→力学量完全集

四、无限深球方势阱

五、三维各向同性谐振子势

7

模型，电子绕核做加速运动，因而以连续谱的

形式向外辐射能量，并最终因能量耗尽而掉到原子核里，原子的寿命约为1ns。

实验观测到：氢原子光谱是彼此分裂的线状光

谱，每一条谱线具有确定的波长(或频率

玻尔的假设?

原子塌陷与氢原子光谱

按经典理论，如果采用卢瑟福的原子有核

原子的稳定性问题

8

二、氢原子

量子力学发展史上最突出得成就之一是对氢原子光谱和化学元素周期律给予了相当满意的解释。氢原子是最简单的原子，其Schrodinger方程可以严格求解，氢原子理论还是了解复杂原子及分子结构的基础。

氢原子中一个电子在库伦势中相对于核运动的波函数ψ(r)所满足的方程，相对运动能量E就是氢原子的能级。

9

二

、

氢

原

子

(

1

)

、

径

向

方

程

氢

原

子

中

电

子

满

足

库

仑

势

V(

r)

=

-

e

²/

r

,

代

入

径

向

方

程

x(

r

)+

[

2μ

h

⁻²

(

E

-

V(

r

))

-

l(

l+

1

)r

⁻²

lx

₁

(r

)=

0

得

到

x

(

r)

+

|2

u

h

(

E

+

e

²r

-

)

-l

(L

+

1)

r

lx

,(

r)

=

0

量

其

中

,

u

为

电

子

的

约

化

质

。

令

h

=

e

=

u

=

,

有

x

(

r)

+

[

2E

+

2

r

⁻¹

-l

(

l+

r

²

-

]x

,

(r

)

=0

0

),

寻

找

f(

r)

的

形

式

氢

原

子

(

2)

令

x₁

(r

)=

(r

)u

(r

径

向

方

程

的

渐

近

行

为(

1)

2

、

向

方程

x

(r

)

+[

2E

+

2

r⁻

¹

-

l(

l

+

x

径

,(

r)

=

0

在

r

→

0时

,

∵

要

求

x

,(

r)

→

0,

若

X

,

)

x

⁸

r

,

要

求

s

0或

s

0

且

s

k

3

/2

f

11

氢

原

我们只讨论束缚态E0

二

、

子

(

3

)

径

程

的

渐

2、

向

方

近

行

为

x

(r

)

+[

2

E

+

2r

¹

-

l(

l+

1

)r

⁻²

lx

,(

r

)=

0

程

为

r

→

时

,

径

向

万

2

E

x

,(

r)

=

0

.V

(

r

)

0

..

∴

对

缚

→

E

0

-

→

β

=

√

-2

E

于

束

态

有

x

(

→

0

r

-

βr

→

0

∵

在

r

→

时

,

按

束

求

,

应

有

x

(r

)

r→

→

00

0

缚

态

要

故

取

x

₁(

r)

2

二、氢原子(4)xi(r)=f(r)u(r)=r¹+¹e-Bru(r)

径向方程的解

x(r-l(l+1)r

r¹+1,r→o时，x₁(r)oe-Brpu(r),得到合流超几何方程

其中，ξ=2βry=2(l+1),α=l+1-1/β,β=√-2E

∴u(r)=F(a,y,ξ)→合流超几何级数

13

氢

原

5

二

、

子

(

)

4

、

氢

原

子

的

能

量

本

征

值

一

能

级

结

构

∵

ξ

→

o

时

,

F

(α

,

y,

S)

→

e

⁵

→

o

,需

α

=

0

或

负

整

数

将

其

中

断

为

多

项

式

,

即

令

α

=-

n

,,

n,

=

0,

,2

,…

,

β

由

α

=

(l

+

-

β

-¹)

得

到

¹

-

=

n

,+

l

+

=

n,

n

=

,2

,3

,…

,