《量子力学》课程总结.pptxVIP

量力学

总结

·能量量子化，波粒二象性，波函数及其物理意义，波函数的归一化及其物理意义，力学量的平均值，算符，定态，量子态叠加原理，宇称，束缚态，一维谐振子的能量本征值，隧穿效应，算符对易式，厄密算符平均值的性质，量子力学关于算符的基本假设，算符的本征方程、本征值与本征函数，不确定度关系的严格表达，两个算符有共同本征态的条件，力学量完全集，力学量完全集共同本征态的性质，守恒量，狄啦克符号，内积及其表示形式，投影算符算符及其性质，向左作用

·角动量平方和角动量z分量的共同本征函

数，中心力场粒子运动特点，氢原子的能量本征值与能级简并度，正常Zeeman效应，电子自旋，关于电子自旋的

Stern-Gerlach实验，碱金属原子光谱双

线结构，量子跃迁与选择定则，禁戒跃迁，微扰论的思想，突发微扰与绝热微扰，能量与时间不确定度，能级宽度与谱线宽度，半经典理论，吸收，受激辐射，自发辐射

量子力学

习题课(一)

总结和例题

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总结

·在量子力学中，描述系统状态的物理量：波函数y(F,t),体现粒子所具有的波粒二象性。

·波函数的统计诠释：|y(x,y,z)表示粒子出现在点(x,y,z)附近的概率。

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·薛定谔方程

·若v(F,t不显含t,则ψ(r,t)=ψE(r)exp(-iEt/h)

其中，yE()满足的方程

称为能量本征方程，ψE(F)称为能

量本征函数，E称为能量本征值

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●能量本征方程也称为定态薛定谔方程，对应薛定谔方程中V(F,t)在不显含t时的形式，是我们后面讨论大多数问题的理论基础。yE()也称为定态波函数，通常将略去yE(r)中的下标E,这样能量本征方程为

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一维能量本征值问题

●能量本征方程、隧穿效应

·定态及其性质、非定态

·束缚态、离散谱

·简并、宇称

·正交、归一、完备态

·一维势场中粒子能量本征态的一般性质

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解题的思路

1、根据题目要求写出哈密顿算符，具体说就是写出势能项：V(r)。

2、求解方程。注意：多利用物理条件来求解。

3、对解的讨论。

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例题

例一、试求在不对称势阱中束缚态

粒子的能级。

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(1)写出不同区域的方程

I:

II:

III:

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(2)求出不同区域的解

I:y(x)=Aekix为什么不是Aekx+Aekx

II:ψ(x)=Bekox+Ce-ikox

III:ψ(x)=De-k₂x为什么不是De-k2x+Dek2x

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(3)利用波函数的连续性条件获得能级方程

x=0处连续条件：

A=B+C

k₁A=ik,(B-C)

x=a处连续条件：

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(3)利用波函数的连续性条件获得能级方程

A-B-C=0

k₁A-ik,B+ik₀C=0

eikoaB+e-ikoaC-e-k₂aD=0

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(3)利用波函数的连续性条件获得能级方程

根据齐次线性方程组的有解条件：

1-1-10

k₁-ik₀ik₀0

0eikoae-ikoa-e-k₂a=0

0

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能级方程WV₁-E+√V₂-E)

hE-J(V-E)(V₂-E)

tan(√x)

或数值计算求解(如迭代法、二分法等)

MathCAD+

Origin8.5

第一题

试计算受到力F=-kx+k₀(k=mo²)

作用的一个粒子的波函数和能量

允许值。

提示：势能

V(x)=V(x±nd)

如图所示，求粒子能

主

第二题

设粒子在周期势场中运动，

量所满足的方程

第二题提示

先证明粒子的位置几率密度也是周期性的，即：

y(x)²=y(x±nd)²→y(x±d)=eiy(x)

分两种情况讨论：

(1)EV₀(2)0EV₀

第三题

粒子做一维运动

数为n),Hn)=E,n),n=1,2,3…

提示：首先证明

,定态波函

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第一题解答

首先计算势能V(x)

V(O)=C作为势能零点，得到新的势能表达式

第一题解答

体系的哈密顿算符写为：

定态薛定谔方程写为：

第一题解答

化简为：

对比两个方程可得到上面方程的解为：

线形谐振子的定态薛定谔方程为：

第一题解答

能量为：

第二题解答

首先证明几率密度也是周期性的，由定态薛定谔方程

作变换x=x±d,dx=dx

∵V(x±d)=V(x)

(2)

(1)

比较(1)和(2),可知φ(x±d)和φ(x)描述的是粒子的同一运动状态

于是可令：φ(x±d