2025届高考数学二轮总复习专题突破练6利用导数研究函数的零点.docVIP

专题突破练6利用导数研究函数的零点

(分值:68分)

1.(17分)(2024江苏南京模拟)已知函数f(x)=ex+(a-e2)x,其中a∈R.

(1)若a=e2-2,求函数f(x)在[0,2]上的最值;

(2)当a0时,证明:F(x)=f(x)-12ax2在(0,2)内存在唯一零点

(1)解当a=e2-2时,f(x)=ex-2x,所以f(x)=ex-2.

令f(x)0,得xln2;令f(x)0,得xln2,所以f(x)在[0,ln2]上单调递减,在[ln2,2]上单调递增,又f(0)=1,f(ln2)=2-2ln2,f(2)=e2-41,所以f(x)在[0,2]上的最小值为2-2ln2,最大值为e2-4.

(2)证明F(x)=f(x)-12ax2=ex+(a-e2)x-12ax2(a0),所以F(x)=ex-ax+a-e

令g(x)=ex-ax+a-e2,则g(x)=ex-a0.

所以g(x)在(0,2)内单调递增,又因为g(0)=1+a-e20,g(2)=-a0,所以存在x0∈(0,2),使得g(x0)=0,即当x∈(0,x0)时,g(x)0,当x∈(x0,2)时,g(x)0,所以F(x)在(0,x0)内单调递减,在(x0,2)内单调递增,又F(0)=10,F(x0)F(2)=-e20,所以F(x)在(0,x0)内存在一个零点,在(x0,2)内没有零点,故F(x)=f(x)-12ax2在(0,2)内存在唯一零点

2.(17分)(2024四川成都模拟)已知函数f(x)=xe-x+asinx,e是自然对数的底数,若x=0恰为f(x)的极值点.

(1)求实数a的值;

(2)求f(x)在区间-∞,π4上零点的个数.

解(1)由题意得f(x)=1-xex+acosx,因为x=0为f(x)的极值点,故f(0)=1+a=0,所以a=-1,此时f(x)=

当x0时,1-xex0,故当x0时,1-xex1,所以f(x)0,则f(x)在(

f(x)=1-xex-cosx=1-x-excosxex,令g(x)=1-x-excosx,则g(x)=-1-ex(cosx-sinx),当0xπ4时,cosx-sinx0,则g(x)0,则g(x)在0,π4内单调递减,故g(x)g(0)=0,即f(x)0,故f(x)在0,π4内单调递减,则x=0为

(2)由(1)知f(x)=xe-x-sinx,f(x)=1-xex-cosx,当x0时,f(x)0,f(x)在(-∞,0)上单调递增,则f(x)f(0)=0,故f(x)在(-∞,0)上不存在零点;当0xπ4时,f(x)0,故f(x)在0,π4内单调递减,则f(x)f(0)=0,故f(x)在0,π4内不存在零点;当x=0时,f(0)=0,即x=0为f(x)的零点.综上所述,f(x)在区间-∞,π4上零点的个数为

3.(17分)(2024北京陈经纶中学模拟)已知函数f(x)=xex-m2(x+1)2(m≥0)

(1)当m=0时,求函数f(x)的极小值;

(2)若函数f(x)在区间(-∞,1)上有且只有一个零点,求m的取值范围.

解(1)当m=0时,f(x)=xex,可得f(x)=(x+1)ex,令f(x)=0,解得x=-1.

当x∈(-∞,-1)时,f(x)0,f(x)单调递减;当x∈(-1,+∞)时,f(x)0,f(x)单调递增,所以函数f(x)的极小值为f(-1)=-1e

(2)若m=0,f(x)=xex,令f(x)=0,解得x=0,当x0时,f(x)0;当x0时,f(x)0,所以函数f(x)在区间(-∞,1)上有且只有一个零点,符合题意.

若m0,由f(x)=(x+1)(ex-m),令f(x)=0,解得x=-1或x=lnm.

①若m=1e,此时f(x)≥0,可得f(x)在R上单调递增,且f(-1)=-1e0,f(1)=e-2e0,此时函数f(x)在区间(-∞,1)上有且只有一个零点

②若m1e,可得lnm-1,令f(x)0,可得x-1或xlnm,令f(x)0,可得-1xlnm,所以f(x)在(-∞,-1),(lnm,+∞)上单调递增,在(-1,lnm)内单调递减,又由f(-1)0,f(lnm)f(-1)0,只需讨论f(1)=e-2m的符号,当1eme2时,f(1)0,函数f(x)在区间(-∞,1)上有且只有一个零点;当m≥e2时,f(1)≤0,函数f(x)在区间(-∞,1)上无零点,故1

③若0m1e,则lnm-1,令f(x)0,可得x-1或xlnm,令f(x)0,可得lnmx-1,所以f(x)在(-∞,lnm),(-1,+∞)上单调递增,在(lnm,-1)内单调递减,又由f(-1)0,f(1)=e-2m0,f(lnm)=-m2(lnm)2-m20,此时函数f(x)在区间(-∞,1)上有且只有一个零点,