2025届高考数学二轮总复习专题突破练8三角恒等变换与解三角形.docVIP

专题突破练8三角恒等变换与解三角形

(分值:113分)

主干知识达标练

1.(2024陕西榆林二模)若tanα2+π8=12,则tanα=

A.17 B.1

C.-17 D.-

答案A

解析因为tanα2+π8=12,所以tanα+π4=

tanα=tanα+π4-π4=43-

2.(2024湖南常德三模)已知cosα=13,sinα2cosβ=12,则cos2β=

A.12 B.1

C.-13 D.-

答案A

解析因为cosα=13,所以cosα=1-2sin2α2=13,sinα2=±33,又sinα2cosβ=12,所以cosβ=±32,所以cos2β=2cos2β-1

3.(2024江苏扬州模拟)在某直角三角形中,一个锐角α的斜边与其邻边的比,叫做该锐角的正割,用secα表示;锐角α的斜边与其对边的比,叫做该锐角的余割,用cscα表示,则csc10°-3sec10°=()

A.4 B.8

C.3 D.43

答案A

解析csc10°-3sec10°=1sin10°-3cos10

4.(2024山东青岛一模)△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=2asinB,bc=4,则△ABC的面积为()

A.1 B.3

C.2 D.23

答案A

解析根据已知及正弦定理得sinB=2sinAsinB,因为B∈(0,π),所以sinB≠0,所以1=2sinA,解得sinA=12,所以S△ABC=12bcsinA=12×4×12=

5.(2024江苏苏州模拟)已知△ABC的内角A,B,C对应的边分别为a,b,c,∠BAC=π3,∠BAC的平分线交边BC于点D,若AD=3,则b+2c的最小值为()

A.2+22 B.4

C.3+22 D.3+23

答案C

解析如图,S△ABC=12bcsin∠BAC=34bc,因为∠BAC的平分线交边BC于点D,且AD=3,所以∠BAD=∠CAD=

S△ABD=12×AD×c×sin∠BAD=34c,S△CAD=12×AD×b×sin∠CAD=

而S△ABC=S△ABD+S△CAD,所以34bc=34c+3

化简得bc=c+b,即1b+

则b+2c=(b+2c)1b+1c=3+bc+2cb≥3+2bc×2cb=3+22,当且仅当b=2c=2+1时,取等号,

6.(多选题)(2024河北石家庄期末)黄金分割率的值可以用2sin18°表示.下列结果等于黄金分割率的值的是()

A.sin102°+3cos102° B.2cos78°+2cos42°

C.2tan9°cos18°

答案AD

解析对于A,sin102°+3cos102°=2sin(102°+60°)=2sin162°=2sin(180°-162°)=2sin18°,所以A正确;

对于B,2cos78°+2cos42°=2cos(60°+18°)+2cos(60°-18°)=4cos60°cos18°=4×12cos18°=2cos18°,所以B不正确

对于C,2tan9°cos18°1-tan29

对于D,sin36°sin108°=2sin18°cos18°

7.(2024安徽亳州模拟)已知sinα=35,α∈π2,π,若sin(α+β)cosβ=4,则tan(α

A.-167 B.-78 C.16

答案C

解析因为sinα=35,α∈π2,π,所以cosα=-1-sin2α=-45,tanα=sinαcosα=-34.因为sin(α+β)cosβ=sinαcosβ+cosαsinβcosβ=

8.(5分)(2024广东揭阳模拟)已知sinα-3cosα=1,则sin7π6-2α的值为.?

答案1

解析已知sinα-3cosα=1,则212sinα-32cosα=2sinα-π3=1,所以sinα-π3=12,令β=α-π3,则α=β+π3,即sinβ=12,所以sin7π6-2α=sin7π6-2β-2π3=sinπ2-2β=cos2β=1-2sin2β

9.(5分)(2024北京门头沟一模)若函数f(x)=2sinx2·cosx2+Acosx(A0)的最大值为2,则A=

fπ12=.?

答案16

解析f(x)=2sinx2cosx2+Acosx=sinx+Acosx=1+A2sin(x+φ),由最大值为2,A

所以f(x)=sinx+cosx=2sinx+π4,所以fπ12=2sinπ12+π4=2sinπ3

10.(5分)(2024四川凉山二模)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若acosB-bcosA

答案π

解析在△ABC中,由acosB-bcosAacosB+bcosA+bc=1及正弦定理得sinAcosB-sinBcosAsinA