新高考2025版高考数学二轮复习第二部分讲重点选填题专练第4讲三角函数平面向量教学案理.docxVIP

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第4讲三角函数、平面对量

调研一三角函数

■备考工具——————————————

1．随意角的三角函数的定义

设α是一个随意角，α的终边上随意一点P(与原点不重合)的坐标为(x，y)，它到原点的距离是r＝eq\r(x2＋y2)，则sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x).

2．三角函数在各象限的符号

记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．

3．同角三角函数关系式

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.

(2)商数关系：tanα＝eq\f(sinα,cosα)(α≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z)．

4．诱导公式的记忆规律

(1)诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限．

(2)“奇”“偶”指的是诱导公式k·eq\f(π,2)＋α中的整数k是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的改变，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变．

(3)“符号看象限”指的是在k·eq\f(π,2)＋α中，将α看成锐角时k·eq\f(π,2)＋α所在的象限．

5．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象

函数

y＝sinx

cosx

y＝tanx

图象

6.正弦函数、余弦函数、正切函数的性质(k∈Z)

函数

性质

y＝sinx

y＝cosx

y＝tanx

定义域

R

R

{x|x≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}

值域

[－1,1]

[－1,1]

R

对称性

对称轴：直线x＝kπ＋eq\f(π,2)；对称中心：(kπ，0)，k∈Z

对称轴：直线x＝kπ；对称中心：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))，k∈Z

无对称轴；对称中心：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))，k∈Z

最小正周期

2π

2π

π

单调性

单调增区间：eq\b\lc\[\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)))；

单调减区间：eq\b\lc\[\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(3π,2)))，k∈Z

单调增区间：[2kπ－π，2kπ]；

单调减区间：[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z

单调增区间：eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，))eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)))，k∈Z

最值

当x＝2kπ－eq\f(π,2)时，y取最小值－1；当x＝2kπ＋eq\f(π,2)时，y取最大值1

当x＝2kπ＋π时，y取最小值－1；当x＝2kπ时，y取最大值1

无最值

奇偶性

奇

偶

奇

7.y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换(A0，ω0)

【说明】前一种方法第一步相位变换是向左(φ0)或向右(φ0)平移|φ|个单位，而后一种方法其次步相位变换是向左(φ0)或向右(φ0)平移eq\f(|φ|,ω)个单位，要严格区分，对y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)同样适用．

8．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的性质

(1)奇偶性：φ＝kπ时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数；φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数．

(2)周期性：y＝Asin(ωx＋φ)存在周期性，其最小正周期为T＝eq\f(2π,ω).

(3)单调性：依据y＝sint和t＝ωx＋φ的单调性来探讨，由－eq\f(π,2)＋2kπ≤ωx＋φ≤eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z得单调递增区间；由eq\f(π,2)＋2kπ≤ωx＋φ≤eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z得单调递减区间．

(4)对称性：利用y＝sinx的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求得其对称中心．

利用y＝sinx的对称轴为x＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，求得其对称轴．

9．三角恒等变换中常用的公式

(1)两角和与差的三角函数公式

sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；(Sα＋β)

sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.(Sα－β)

cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；(Cα＋β)

cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；(Cα－β)

tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1