2025年新高考艺术生数学突破讲义：复数经典问题.docxVIP

复数经典问题

【考点预测】

一.基本概念

（1）叫虚数单位，满足，当时，.

（2）形如的数叫复数，记作.

=1\*GB3①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部；Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）。两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数.

=2\*GB3②两个复数相等（两复数对应同一点）

=3\*GB3③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，.

二.基本性质

1、复数运算

（1）

（2）

其中，叫z的模；是的共轭复数.

（3）.

实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数.

2、复数的几何意义

（1）复数对应平面内的点；

（2）复数对应平面向量；

（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数.

（4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离.

【典型例题】

例1．（2024·河北唐山·一模）已知i为虚数单位，复数，则=（???）

A． B． C． D．2

【答案】D

【解析】,所以，，.

故选：D

例2．（2024·陕西西安·二模）复数，（，是虚数单位）对应的点在第二象限，则（????）

A．或 B．

C． D．

【答案】C

【解析】由，

故有，解得.

故选：C.

例3．（2024·宁夏石嘴山·一模）若复数为纯虚数，则的值为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为复数为纯虚数，

所以且，解得，

又，，，，

则.

故选：A．

例4．（2024·全国·模拟预测）已知为虚数单位，且复数，则下列说法中正确的是（?????）.

A．复数为实数 B．

C．复数为纯虚数 D．

【答案】A

【解析】，故，

故A正确，B、C、D错误.

故选：A.

例5．（2024·浙江·模拟预测）若复数的实部大于0，且，则（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设，

代入，得，

解得：，

所以.

故选：D.

例6．（2024·浙江金华·模拟预测）若复数z满足，则（????）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】D

【解析】设，则，

则有，

即，

化简可得，故.

故选：D.

例7．（2024·高三·重庆沙坪坝·阶段练习）已知的两共轭虚根为，，且，则．

【答案】3

【解析】由题设，可令，且，

所以，

所以.

故答案为：3

例8．（2024·高三·上海静安·期末）已知，是虚数单位，的虚部为.

【答案】

【解析】由题，

所以的虚部为.

故答案为：

例9．（2024·高三·广东·专题练习）已知i为虚数单位，若复数对应的点在复平面的虚轴上，则实数

【答案】

【解析】由，

结合题意，则，解得.

故答案为：.

例10．（2024·全国·模拟预测）设为实数，且，虚数为方程的一个根，则的值为.

【答案】1

【解析】由题意可知虚数为方程的一个根，也为方程的一个根，

所以，

设，则，

，

所以，

故答案为：.

例11．（2024·高三·上海·阶段练习）关于的实系数方程和有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则的取值范围是.

【答案】

【解析】因为的解为

，

设所对应的两点分别为，

则，，

设的解所对应的两点分别为，，

记为,,，

当，即时，因为关于轴对称，

且，，关于轴对称，显然四点共圆；

当，即或时，

此时,,，且，

故此圆的圆心为，半径，

又圆心到的距离，

解得，

综上：,

故答案为：.

例12．（2024·天津南开·一模）i是虚数单位，复数，则的虚部为

【答案】

【解析】.

所以复数的虚部为.

故答案为：.

【过关测试】

一、单选题

1．（2024·陕西西安·模拟预测）若复数满足，则复数的虚部是（????）

A． B． C．3 D．0

【答案】A

【解析】因为，

所以，所以，

所以复数的虚部.

故选：A

2．（2024·北京·模拟预测）记复数的共轭复数为，则（????）

A．1 B． C． D．

【答案】C

【解析】因为，所以.

故选：C.

3．（2024·河南新乡·二模）设，则（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，

故，

故选：B

4．（2024·全国·模拟预测）已知复数（是虚数单位），则（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】方法一：，.

方法二：.

故选：B.

5．（2024·高三·江西·阶段练习）复数在复平面内对应的点为，为坐标原点，将向量绕点逆时针旋转后得到向量，点对应复数为，则（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意得，设其与实轴正半轴夹角为，则，

故可设，