2025年新高考艺术生数学突破讲义：函数的图象.docxVIP

函数的图象

【考点预测】

一、掌握基本初等函数的图像

（1）一次函数；（2）二次函数；（3）反比例函数；（4）指数函数；（5）对数函数；（6）三角函数.

二、函数图像作法

1、直接画

①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：奇偶性（或其他对称性）、单调性、周期性、凹凸性；④特殊点、极值点、与横/纵坐标交点；⑤特殊线（对称轴、渐近线等）.

2、图像的变换

（1）平移变换

①函数的图像是把函数的图像沿轴向左平移个单位得到的；

②函数的图像是把函数的图像沿轴向右平移个单位得到的；

③函数的图像是把函数的图像沿轴向上平移个单位得到的；

④函数的图像是把函数的图像沿轴向下平移个单位得到的；

（2）对称变换

①函数与函数的图像关于轴对称；

函数与函数的图像关于轴对称；

函数与函数的图像关于坐标原点对称；

②若函数的图像关于直线对称，则对定义域内的任意都有

或（实质上是图像上关于直线对称的两点连线的中点横坐标为，即为常数）；

若函数的图像关于点对称，则对定义域内的任意都有

③的图像是将函数的图像保留轴上方的部分不变，将轴下方的部分关于轴对称翻折上来得到的（如图（a）和图（b））所示

④的图像是将函数的图像只保留轴右边的部分不变，并将右边的图像关于轴对称得到函数左边的图像即函数是一个偶函数（如图（c）所示）.

注：的图像先保留原来在轴上方的图像，做出轴下方的图像关于轴对称图形，然后擦去轴下方的图像得到；而的图像是先保留在轴右方的图像，擦去轴左方的图像，然后做出轴右方的图像关于轴的对称图形得到.这两变换又叫翻折变换.

（3）伸缩变换

①的图像，可将的图像上的每一点的纵坐标伸长或缩短到原来的倍得到.

②的图像，可将的图像上的每一点的横坐标伸长或缩短到原来的倍得到.

【典例例题】

例1．（2024·广东广州·一模）已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能是（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】观察图象可知函数为偶函数，

对于A，，为奇函数，排除；

对于B，，为奇函数，排除；

同理，C、D选项为偶函数，而对于C项，其定义域为，不是R，舍去，故D正确.

故选：D

例2．（2024·四川南充·二模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】对于A：函数的定义域为，显然不符合题意，故A错误；

对于B：函数的定义域为，显然不符合题意，故B错误；

对于C：函数的定义域为，又为奇函数，又在上函数是下凸递增，故不符合题意，故C错误；

对于D：函数的定义域为，又为奇函数，且在上函数是上凸递增，故D正确.

故选：D

例3．（2024·天津和平·一模）函数的图象大致是（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】定义域为，，

为定义在上的奇函数，图象关于坐标原点对称，C错误；

当时，，，

在上单调递增，AD错误，B正确.

故选：B.

例4．（2024·陕西西安·二模）已知函数的图象如图所示，则函数的解析式可能为（????）

??

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】对于A，函数的定义域为R，而题设函数的图象中在自变量为0时无意义，不符合题意，排除；

对于C，当时，，不符合图象，排除；

对于D，当时，，不符合图象，排除.

故选：B

例5．（2024·高三·四川遂宁·开学考试）函数的图象大致为（????）

A．?? B．??

C．?? D．??

【答案】B

【解析】，则的定义域为R，

又，

所以为奇函数，图象关于原点对称，故排除CD，

当时，，故排除A.

故选：B.

例6．（2024·安徽芜湖·二模）我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图象特征．则函数的图象大致为（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由题意可知：的定义域为，关于原点对称，

且，可知为奇函数，排除AB，

且，排除D.

故选：C.

例7．（2024·四川南充·二模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】对于A：函数的定义域为，显然不符合题意，故A错误；

对于B：函数的定义域为，显然不符合题意，故B错误；

对于C：函数的定义域为，又为奇函数，

但是在上函数是下凸递增，故不符合题意，故C错误；

对于D：定义域为，又为奇函数，

且在上函数是上凸递增，故D正确.

故选：D

例8．（2024·高三·江西·开学考试）函数的图象大致为（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】，且函数定义域为，关于原点对称，所以为奇函数，排除CD．

当时，，所以，排除B，经检验A选项符合题意.

故选：A．

例9