2025年新高考艺术生数学突破讲义：函数与方程.docxVIP

函数与方程

【考点预测】

一、函数的零点

对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点.

二、方程的根与函数零点的关系

方程有实数根函数的图像与轴有公共点函数有零点.

三、零点存在性定理

如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有

，那么函数在区间内有零点，即存在，使得也就是方程的根.

四、二分法

对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点

所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值.

五、用二分法求函数零点近似值的步骤

（1）确定区间，验证，给定精度.

（2）求区间的中点.

（3）计算.若则就是函数的零点；若，则令（此时零点）.若，则令（此时零点）

（4）判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为（或）；否则重复第（2）—（4）步.

用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.

【方法技巧与总结】

函数的零点相关技巧:

①若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点.

②连续不断的函数，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号.

③连续不断的函数通过零点时，函数值不一定变号.

④连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出.

【典例例题】

例1．（2024·高三·全国·专题练习）函数f（x）＝2x＋x－2的零点个数是（）

A．0 B．1

C．2 D．3

【答案】B

【解析】解析：f′（x）＝2xln2＋1＞0，所以f（x）在R上单调递增，f（0）＝－1，f（1）＝1，故函数的零点个数为1.故选B.

例2．（2024·江苏·一模）函数在区间内的零点个数为（????）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】C

【解析】令，得，则；

故，，

所以在共有4个零点，

故选：C.

例3．（2024·高三·北京海淀·阶段练习）已知符号函数，则函数的零点个数为（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】令，则

，

当时，若，得，符合；

当时，若，得，符合；

当时，若，得，符合；

故函数的零点个数为.

故选：C.

例4．（2024·湖南岳阳·模拟预测）已知函数，则下列结论错误的是（????）

A． B．的零点为3

C．在上为增函数 D．的定义域为

【答案】C

【解析】,可知函数的零点为3，可知A,B正确；

中，由，解得：，

故函数的定义域为，且函数在为增函数，故C错误，D正确.

故选：C

例5．（2024·四川成都·二模）已知函数，若存在m使得关于x的方程有两不同的根，则t的取值范围为（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】由函数，可得函数在，上为增函数，

当时，，当时，，

若存在m使得关于x的方程有两不同的根，只需，

解得或，所以t的取值范围为.

故选：B．

例6．（2024·高三·全国·竞赛）方程的实数解的个数是（????）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【解析】依题意，

原方程等价于

即，显然只有一个正实根.

故选：B.

例7．（2024·高三·陕西西安·期末）已知函数若，且，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意，作出的大致图象，如图所示，

要使得，

即函数与的图象有4个不同交点，则，

所以实数的取值范围是．

故选：A.

例8．（2024·高三·全国·专题练习）函数的零点所在的大致区间是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】的定义域为，

又与在上单调递增，

所以在上单调递增，

又，，

所以，

根据函数零点存在性定理可得函数的零点所在的大致区间为，

故选：B.

例9．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数的图象与直线y＝x恰有三个公共点，则实数m的取值范围是．

【答案】

【解析】令x2＋4x＋2＝x，解得x＝－1或x＝－2，所以三个解必须为－1，－2和2，所以有－1≤m＜2.

例10．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数f（x）＝则使得方程x＋f（x）＝m有解的实数m的取值范围是．

【答案】

【解析】当时，，即有解，则；

当时，，即有解，则，

即实数m的取值范围是.

故答案为：

例11．（2024·辽宁·二模）已知函数的定义域为，满足，且当时，，则的值为．

【答案】

【解析】函数的定义域为，满足，

且当,时，，

，

，

，

，

，

．

故答案为：．

例12．（2024·高三·重庆·阶段练习）已知函数，若函数有两个不同零点，则极值点的个数为.

【答案】2

【解析】令，则，由题意知，即；

，令，则，

即，则有两个变号零点，

所以函数有2个极值点.

故答案为：2.

【过关测试】

一、单选题

1．（2024·山西·模拟