2025年新高考艺术生数学突破讲义：一元二次不等式与其他常见不等式的解法.docxVIP

一元二次不等式与其他常见不等式的解法

【知识点梳理】

1、一元二次不等式

一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且

（1）当时，二次函数图象开口向上.

（2）=1\*GB3①若，解集为.

=2\*GB3②若，解集为.

=3\*GB3③若，解集为.

(2)当时，二次函数图象开口向下.

=1\*GB3①若，解集为

=2\*GB3②若，解集为

2、分式不等式

（1）

（2）

（3）

（4）

3、绝对值不等式

（1）

（2）；

；

（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解

【方法技巧与总结】

1、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．

由的解集为，得:的解集为，即关于的不等式的解集为．

已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．

由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．

2、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．

由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．

3、已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．

由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为，以此类推．

4、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；

5、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；

6、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；

7、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足．

【典型例题】

例1．（2024·全国·高三专题练习）若实数满足不等式，则的取值范围是.

【答案】

【解析】不等式，即，解得，则的取值范围是.

故答案为：.

例2．（2024·全国·高三专题练习）不等式的解集为．

【答案】或

【解析】根据分式不等式解法可知等价于，

由一元二次不等式解法可得或；

所以不等式的解集为或.

故答案为：或

例3．（2024·全国·高三专题练习）不等式的解集为（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】原不等式可以转化为：，

当时，可知，对应的方程的两根为1，，

根据一元二次不等式的解集的特点，可知不等式的解集为：.

故选：A.

例4．（2024·云南德宏·高三统考期末）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】根据题意，方程的两根为2和3，

则，

则为，其解集为.

故选：D.

例5．（2024·广东·高三学业考试）若不等式的解集为，则（????）

A．1 B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意知，是方程的两个根，且，

则，解得，

所以.

故选：D.

例6．（2024·全国·高三专题练习）关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则的取值范围是（????）

A．

B．

C．

D．且

【答案】B

【解析】根据题意可知；，

由韦达定理可得，解得，

故选：B

例7．（2024·全国·高三专题练习）已知一元二次方程的两根都在内，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设，由题意可得，解得.

因此，实数的取值范围是.

故选：B.

例8．（2024·全国·高三专题练习）已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】结合图像易知，

不等式的解集，

故选：A.

例9．（2024·吉林通化·高三校考阶段练习）若不等式对任意实数x均成立，则实数m的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】依题意，不等式对任意实数x均成立，

即不等式恒成立，

当时，不等式可化为恒成立，

当时，

，解得，

综上所述，的取值范围是.

故选：B

例10．（2024·山东滨州·高三统考期末）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】不等式对任意恒成立，则，成立，

而，当且仅当，即时取等号，因此，

所以实数的取值范围是.

故选：B

例11．（2024·全国·高三期末）若命题“，”为真命题，则实数a的取值范围为（????）

A． B．

C．或 D．

【答案】D

【解析】因为命题“，”为真命题，

若，即，则，；

若，即，要使得命题为真命题，则，

即，解得或，

又因为，所以此时；

若，即，则满足命题“，”为真命题；

综上，，

故选:D.

例12．（2024·全国·高三专题练习）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于的内接矩形花园（阴影部分），则图中矩形花园的其中一边的边长（单位：m）的取值范围是（????）

??

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

如图，过作于，交于，易知，即，

则，．所以矩形花园的面积，

解得．

故选:C．

【过关测试】

一、单选题

1．（2024·全