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圆锥曲线常规解答题

【考点预测】

一、直线与圆锥曲线的位置关系的判断

判断直线与圆锥曲线的位置关系时，通常将直线的方程

代入圆锥曲线的方程，消去（也可以消去）得到关系一个变量的

一元二次方程，，即，消去后得

（1）当时，即得到一个一元一次方程，则与相交，且只有一个交点，此时，

若为双曲线，则直线与双曲线的渐近线平行；若为抛物线，则直线与抛物线

的对称轴平行

（2）当时，，直线与曲线有两个不同的交点；，直线与曲

线相切，即有唯一的公共点（切点）；，直线与曲线

二、圆锥曲线的弦

连接圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦

直线，曲线为与的两个不同的交点，坐标分别为，则是方程组的两组解，

方程组消元后化为关于的一元二次方程（），判别式

，应有，所以是方程的根，由根与系数关

系（韦达定理）求出，所以两点间的距离为

，即弦长公式，弦长

公式也可以写成关于的形式

三、定值问题

解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决．证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下：

（1）变量----选择适当的量为变量．

（2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数．

（3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值．

求定值问题常见的方法有两种：

（1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关；

（2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值．

四、求最值问题常用的两种方法

（1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决，这是几何法．

（2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值．求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等，这就是代数法．

五、求定值、最值等圆锥曲线综合问题的“三重视”

（1）重视定义在解题中的作用（把定义作为解题的着眼点）．

（2）重视曲线的几何特征特别是平面几何性质与方程的代数特征在解题中的作用．

（3）重视根与系数的关系在解题中的作用（涉及弦长、中点要用根与系数的关系）．

【典型例题】

例1．（2024·河北衡水·一模）已知椭圆过和两点.分别为椭圆的左?右焦点，为椭圆上的点（不在轴上），过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)求的范围.

【解析】（1）由题意可知，将点代入椭圆方程，

得，解得，

所以椭圆的标准方程为.

（2）由（1）知，，

当直线l的斜率为0时，，

当直线l的斜率不为0时，设直线的方程为，，，

联立，消去，得，

易得，则，

所以

，

因为，所以，所以，所以，

综上，，即的范围是.

例2．（2024·重庆·模拟预测）如图，已知椭圆C：的离心率为，直线恒过右焦点F，交椭圆于，两点，且．

(1)求椭圆C的方程；

(2)求的最小值．

【解析】（1）因为直线l：恒过即为右焦点F，

∴，

又因为离心率为，所以，

所以椭圆C的方程为；

（2）联立有，

则有，

易知

同理，所以，

将带入有，

令，则有，

所以在是增函数，是减函数，则有，

所以，当时，取最小值.

例3．（2024·高三·全国·专题练习）已知抛物线C：过点.

(1)求过点M的抛物线C的切线方程；

(2)若A，B是抛物线C上异于M的两点记直线MA，MB的斜分别为，且，求点M到直线AB距离的最大值.

【解析】（1）将M的坐标代入抛物线C的方程中，得，故抛物线C的标准方程为.

解法一：由题意知过点M的抛物线的切线的斜率一定存在且不为0，

设过点M的抛物线的切线方程为，

将其代入，得，

由，得，

故过点M的抛物线C的切线方程为.

解法二：当时，由得，而，

所以过点M（1，2）的抛物线C的切线的斜率为1，

故过点M的抛物线C的切线方程为，即；

（2）设，，则，同理，

故，化简得.

易知直线AB的斜率不为0，则可设直线AB的方程为，

将其代入，得，所以，，

所以，即，

直线AB的方程为，直线AB过定点.

连接MQ，易知当时，点M到直线AB的距离最大，

故点M到直线AB距离的最大值为.

例4．（2024·广西·二模）已知抛物线，过点作直线交抛物线C于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线交于点P．

(1)证明：P在定直线上；

(2)若F为抛物线C的焦点，证明：．

【解析】（1）证明：设，，则，

直线的方程为，即，

又因为直线过点，所以，即，

设直线的方程为，与抛物线方程联立，解得或，

又因为直线与抛物线相切，所以，即，

所以直线的方程为，即，

同理直线的方程为，

由，解得，即，

故点P在直线上．

（2）证明：∵，，

注意到两角都在内，可知要证．即证.

而，，

所以，

又，

所以，同理，

即有，故．

例5．（2024·河南郑州·模拟预测）已知倾斜角为（）的直线l与抛物线C：（）只有1个公共点A