2025届高考数学二轮总复习专题突破练21圆锥曲线的定义方程与性质.docVIP

专题突破练21圆锥曲线的定义、方程与性质

(分值:96分)

主干知识达标练

1.(2024山东聊城二模)点P在抛物线y2=8x上,若点P到点(2,0)的距离为6,则点P到y轴的距离为()

A.4 B.5 C.6 D.7

答案A

解析根据抛物线方程可知,焦点为(2,0),准线方程为x=-2,点P到焦点的距离为6,即点P到准线的距离为6,所以点P到y轴的距离为6-2=4.故选A.

2.(2024江苏扬州模拟)已知椭圆x2a+y2=1(a1)的离心率为32,则抛物线y=ax2的焦点坐标为(

A.116,0 B.0,18 C.18,0 D.0,116

答案D

解析因为椭圆x2a+y2=1(a1)的离心率为32,所以1-1a=32,解得a=4,则抛物线y=ax2的标准方程为x2=14y

3.(2024河北沧州一模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线的倾斜角为π6

A.x24-y26

C.x26-y24

答案B

解析由题意可得ba=tanπ6=33,所以a=3b,双曲线的渐近线方程为y=±33x,即x±3y=0,不妨设焦点(c,0)到渐近线x+3y=0的距离为2,即d=|c|1+3=c2=2,解得c=4,又a2+b2=c2=16,a=

所以C的方程为x212-y24

4.(2023全国甲,文7)设F1,F2为椭圆C:x25+y2=1的两个焦点,点P在C上,若PF1·PF2=0,则|PF1

A.1 B.2 C.4 D.5

答案B

解析由椭圆C:x25+y2=1,知a2=5,b2=1,则c2=a2-b2=4,即c=2,则|F1F2|=2c=

∵PF1

∴PF1⊥PF2,即∠F1PF2=90°.

在Rt△PF1F2中,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,∵|PF1|+|PF2|=2a=25,

∴(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|=|F1F2|2.

∴20-2|PF1|·|PF2|=16,

解得|PF1|·|PF2|=2.故选B.

5.(2024湖南衡阳二模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左焦点为F,虚轴的上、下端点分别为A,B,若|FA+FB|=2|

A.233 B.52 C.

答案A

解析根据题意,作图如下:

|FA+FB|=2|FA-FB|,即2|FO|=2|BA|,也即c=2b,故c2=4b2=4(c2-a2),解得c2a2=43,则

6.(多选题)(2024湖南长沙一模)某彗星的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆.测得轨道的近日点(距离太阳最近的点)与太阳中心的距离为d1,远日点(距离太阳最远的点)与太阳中心的距离为d2,并且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上,则()

A.轨道的焦距为d2+d1

B.轨道的离心率为d

C.轨道的短轴长为2d

D.当d1d2

答案BC

解析以近日点和远日点的中点为坐标原点,近日点和远日点连线所在直线为x轴建立平面直角坐标系.

设该椭圆的方程为x2a2+y

由题知a-c=d1,a+c=d2,解得a=d1+

因为离心率为ca=d2-

因为轨道的短轴长为2a2-c2=2(d1+d

因为d2-d1d2+d1=1-d1d21+d1

7.(多选题)(2023新高考Ⅱ,10)设O为坐标原点,直线y=-3(x-1)过抛物线C:y2=2px(p0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则()

A.p=2

B.|MN|=8

C.以MN为直径的圆与l相切

D.△OMN为等腰三角形

答案AC

解析对于A,在y=-3(x-1)中令y=0,得x=1,所以抛物线的焦点为(1,0),所以p2=1,所以p=2,故A正确

对于B,由A知,抛物线的方程为y2=4x,则由y

不妨设M13,233,N(3,-23),则由抛物线的定义知|MN|=13+3+2=163

对于C,由B知,以MN为直径的圆的圆心为53,-233,半径为83,又抛物线的准线l的方程为x=-p2=-1,圆心到准线l的距离为53-(-1)=83,故以MN为直径的圆与l相切

对于D,因为|OM|=(13)?2+(233)?2=133,|ON|=32

8.(5分)(2024广东湛江二模)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,若C上存在一点P满足|PF1|2=19|PF2|2,则C的离心率的取值范围是.?

答案10-199

解析因为|PF1|2=19|PF2|2,所以|PF1|=19|PF2|,由椭圆定义知2a=|PF1|+|PF2|=(19+1)|PF2|,所以|PF2|=(19-1)a9∈[a-c,a+c],则e=ca≥10-199,

9.(5分)(2024湖南益阳模拟)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作一条渐近线的垂线