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专题将军饮马模型

将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学

生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主。在解

决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称

变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。希望通过本专题的讲解

让大家对这类问题有比较清晰的认识。

模型1、将军饮马--两定一动求线段和的最小值

【模型探究】A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小。

图1图2

(1)如图1，点A、B在直线m两侧：

辅助线：连接AB交直线m于点P，则AP+BP的最小值为AB.

(2)如图2，点A、B在直线同侧：

辅助线：过点A作关于定直线m的对称点A，连接AB交直线m于点P，则AP+BP的最小值为AB.

1.(2022·广东·九年级专题练习)已知点A(1,1)，B(3,5)，在x轴上的点C，使得AC+BC最小，则点C的

横坐标为．

2.(2022·江苏·八年级专题练习)如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P

是AD上的一个动点，当△PCE的周长最小时，∠ACP的度数为．

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3.(2022·浙江·临海市八年级开学考试)如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与

△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是．

4.(2023.浙江八年级期中)如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，

E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为多少？

5.(2023·江阴市八年级月考)某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：

直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作点

关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为．

请利用上述模型解决下列问题：

(1)几何应用：如图2，中，，，是的中点，是边上的一

动点，则的最小值为；

(2)几何拓展：如图3，中，，，若在、上各取一点、使

的值最小，画出图形，求最小值并简要说明理由．

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模型2、将军饮马--两动一定求线段和的最小值

【模型探究】已知定点A位于定直线m,n的内侧,在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长

最短.

辅助线：过点A作关于定直线m、n的对称点A、A，连接AA交直线m、n于点P、Q，则PA+

PQ+QA的最小值为AA.

6.如图，在锐角△ABC中，∠ACB=50°；边AB上有一定点P，M、N分别是AC和BC边上的动点，

当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是()

A.50°B.60°C.70°D.80°

7.(2022·安徽·合肥市八年级阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，∠AOB=30°，P(5，0)，在OB上找

一点M，在OA上找一点N，使△PMN周长最小，则此时△PMN的周长为．

8.(2023.山东八年级期末)如图所示，在四边形ABCD中，∠A=90º，∠C=90º，∠D=60º，AD=3，

AB=3，若点M、N分别为