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双曲线知识点

双曲线的定义：

第一定义：

到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F1F2|）的点的轨迹（（为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．

要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a＜|F1F2|.

当|MF1|－|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支；

当|MF1|－|MF2|=－2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支；

当2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；

当2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在.

第二定义：

动点到一定点F的距离与它到一条定直线l的距离之比是常数e(e＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l叫做双曲线的准线

双曲线的标准方程：

（a＞0，b＞0）(焦点在x轴上)；

（a＞0，b＞0）(焦点在y轴上)；

如果项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果项的系数是正数，则焦点在y轴上.a不一定大于b.

与双曲线共焦点的双曲线系方程是

双曲线方程也可设为：

例题：已知双曲线和椭圆有相同的焦点，且过点，求双曲线的轨迹方程。

点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系：

点与双曲线：

点在双曲线的内部

点在双曲线的外部

点在双曲线上

直线与双曲线：

（代数法）

设直线，双曲线联立解得

时，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；

，，或k不存在时直线与双曲线没有交点；

时，

存在时，

若

，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；

若，

时，，直线与双曲线相交于两点；

时，，直线与双曲线相离，没有交点；

时，直线与双曲线有一个交点；

若不存在，时，直线与双曲线没有交点；

直线与双曲线相交于两点；

3.过定点的直线与双曲线的位置关系：

设直线过定点，双曲线

1).当点在双曲线内部时：

，直线与双曲线两支各有一个交点；

，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；

或或不存在时直线与双曲线的一支有两个交点；

2).当点在双曲线上时：

或，直线与双曲线只交于点；

直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；

（）或（）或或不存在，直线与双曲线在一支上有两个交点；

当时，

或不存在，直线与双曲线只交于点；

或时直线与双曲线的一支有两个交点；

直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；

3).当点在双曲线外部时：

当时，

，直线与双曲线两支各有一个交点；

或或不存在，直线与双曲线没有交点；

当点时，

时，过点的直线与双曲线相切

时，直线与双曲线只交于一点；

几何法：直线与渐近线的位置关系

例：过点的直线和双曲线，仅有一个公共点，求直线的方程。

双曲线与渐近线的关系：

若双曲线方程为

渐近线方程：

若双曲线方程为（a＞0，b＞0）

渐近线方程：

若渐近线方程为

双曲线可设为,.

若双曲线与有公共渐近线

则双曲线的方程可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）

双曲线与切线方程：

双曲线上一点处的切线方程是.

过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是.

双曲线与直线相切的条件是.

双曲线的性质：

双曲线

标准方程（焦点在轴）

标准方程（焦点在轴）

定义

第一定义：平面内与两个定点，的距离的差的绝对值是常数（小于）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。

P

P

P

P

第二定义：平面内与一个定点和一条定直线的距离的比是常数，当时，动点的轨迹是双曲线。定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数（）叫做双曲线的离心率。

P

P

P

P

P

P

范围

，

，

对称轴

轴，轴；实轴长为,虚轴长为

对称中心

原点

焦点坐标

焦点在实轴上，；焦距：

顶点坐标

（,0）(,0)

(0,,)(0，)

离心率

1)，，e越大则双曲线开口的开阔度越大

准线方程

准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：

顶点到准线的距离

顶点（）到准线（）的距离为

顶点（）到准线（）的距离为

焦点到准线的距离

焦点（）到准线（）的距离为

焦点（）到准线（）的距离为

渐近线

方程

()

()

共渐近线的双曲线系方程

（）

（）

直线和双曲线的位置

双曲线与直线的位置关系：

利用转化为一元二次方程用判别式确定。

二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。

相交弦AB的弦长

通径：