2024年高考数学一轮总复习讲义 第二讲　常用逻辑用语.docxVIP

第二讲常用逻辑用语

知识梳理·双基自测

知识梳理

知识点一充分条件、必要条件与充要条件的概念

若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件

p是q的充分不必要条件

p?q且qp

p是q的必要不充分条件

pq且q?p

p是q的充要条件

p?q

p是q的既不充分也不必要条件

pq且qp

知识点二全称量词与存在量词

1．命题

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．

2．全称量词命题与存在量词命题

(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“?”表示．含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．

(2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“?”表示．含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．

3．全称量词命题和存在量词命题的否定

量词命题

量词命题的否定

结论

?x∈M，p(x)

?x∈M，綈p(x)

存在量词命题的否定是全称量词命题

?x∈M，p(x)

?x∈M，綈p(x)

全称量词命题的否定是存在量词命题

归纳拓展

1．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则

(1)若A?B，则p是q的充分条件；

(2)若A?B，则p是q的必要条件；

(3)若A＝B，则p是q的充要条件；

(4)若AB，则p是q的充分不必要条件；

(5)若AB，则p是q的必要不充分条件；

(6)若A?B且A?B，则p是q的既不充分也不必要条件．

2．充分条件与必要条件的两个特征：

(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p?q”?“q?p”．

(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p?q且q?r”?“p?r”(“p?q且q?r”?“p?r”)．

注意：不能将“若p，则q”与“p?q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p?q”，即“p?q”?“若p，则q”为真命题．

3．含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”．

4．对省略了全称量词的命题否定时，要对原命题先加上全称量词再对其否定．

5．命题p和綈p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可判断此命题的否定的真假．

双基自测

题组一走出误区

1．判断下列结论是否正确(请在括号内打“√”或“×”)

(1)“x2＋2x－30”是命题．(×)

(2)至少有一个三角形的内角和为π是全称量词命题．(×)

(3)若命题p：?x∈R，eq\f(1,x－2)0，则綈p：?x∈R，eq\f(1,x－2)≥0.(×)

(4)“α＝β”是“tanα＝tanβ”的充分不必要条件．(×)

(5)在△ABC中，AB是sinAsinB的充要条件．(√)

[解析](4)当α＝β＝eq\f(π,2)时，tanα、tanβ都无意义．因此不能推出tanα＝tanβ，当tanα＝tanβ时，α＝β＋kπ，k∈Z，不一定α＝β，因此是既不充分也不必要条件．

(5)在△ABC中，由AB，则ab，由正弦定理sinAsinB，反之也成立．

题组二走进教材

2．(多选题)(必修1P28练习T1改编)下列命题是全称量词命题且为真命题的是(AC)

A．?x∈Z，－x2－10

B．?m∈Z，nm＝m

C．所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径

D．存在实数x，使得eq\f(1,x2－2x＋3)＝eq\f(3,4)

[解析]?x∈R，－x2≤0，所以－x2－10，故A选项是全称量词命题且为真命题；当m＝0时，nm＝m恒成立，故B选项是存在量词命题且为真命题；任何一个圆的圆心到切线的距离都等于半径，故C选项是全称量词命题且为真命题；因为x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，所以eq\f(1,x2－2x＋3)≤eq\f(1,2)eq\f(3,4)，故D选项是存在量词命题且为假命题．

3．(必修1P22习题T2改编)“ab”是“ac2bc2”的(B)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

[解析]当ab时，若c2＝0，则ac2＝bc2，

所以abac2bc2，

当ac2bc2时，c2≠0，则ab，

所以ac2bc2?ab，

即“ab”是“ac2bc2”的必要不充分条件．

4．(必修1P23T5改编)使－2x2成立的一个充分条件是(B)

A．x2 B．0x2

C．－2≤x≤2 D．x0

题组三走向高考

5．(2023·天津，2,5分)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的(B)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

[解析]由a2＝b2得|a|＝|