2024年高考数学一轮总复习讲义 第三讲　不等关系与不等式.docxVIP

第三讲不等关系与不等式

知识梳理·双基自测

知识梳理

知识点一两个实数比较大小的方法

(1)作差法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b0?ab,a－b＝0?a＝b?a，b∈R?,a－b0?ab))

(2)作商法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)1?ab,\f(a,b)＝1?a＝b?a∈R，b0?,\f(a,b)1?ab))

知识点二不等式的基本性质

性质

性质内容

特别提醒

对称性

ab?ba

?

传递性

ab，bc?ac

?

可加性

ab?a＋cb＋c

?

可乘性

eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(abc0))?acbc

注意c

的符号

eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(abc0))?acbc

同向可加性

eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(abcd))?a＋cb＋d

?

同向同正

可乘性

eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(ab0cd0))?acbd

?

可乘方性

ab0?anbn

(n∈N，n≥1)

a，b同

为正数

可开方性

ab0?eq\r(n,a)eq\r(n,b)

(n∈N，n≥2)

a，b同为正数

归纳拓展

1．ab，ab0?eq\f(1,a)eq\f(1,b).

2．a0b?eq\f(1,a)eq\f(1,b).

3．ab0，dc0?eq\f(a,c)eq\f(b,d).

4．若ab0，m0，则eq\f(b,a)eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)eq\f(b－m,a－m)(b－m0)．

双基自测

题组一走出误区

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若eq\f(a,b)1，则ab.(×)

(2)若ab，cd，则acbd.(×)

(3)若ab，则ac2bc2.(×)

(4)若ac2bc2，则ab.(√)

(5)若ab则eq\f(1,a)eq\f(1,b).(×)

(6)若ab则a2b2.(×)

(7)若ab则a3b3.(√)

(8)若eq\f(1,a)eq\f(1,b)0，则ba0.(√)

题组二走进教材

2．(必修1P14T5)某班有学生参加才艺比赛，已知每人只参加一个比赛，且参加书法比赛的人数多于参加唱歌比赛的人数，参加唱歌比赛的人数多于参加折纸比赛的人数，参加折纸比赛的人数的2倍多于参加书法比赛的人数，则参加这三项比赛的总人数至少为(C)

A．7 B．9

C．12 D．15

[解析]设参加书法、唱歌、折纸比赛的人数分别为a，b，c，由题意得a≥b＋1，b≥c＋1,2c≥a＋1，∴a＋b＋2c≥b＋1＋c＋1＋a＋1，∴c≥3，∴b≥4，a≥5，∴参加这三项比赛的总人数至少为12.故选C.

3．(必修1P14T7改编)若－eq\f(π,2)αβeq\f(π,2)，则α－β的取值范围是(－π，0).

[解析]由已知，得－eq\f(π,2)αeq\f(π,2)，－eq\f(π,2)－βeq\f(π,2)，所以－πα－βπ，又αβ，所以α－β0，故－πα－β0.

4．(必修1P43T8改编)已知t1，且x＝eq\r(t＋1)－eq\r(t)，y＝eq\r(t)－eq\r(t－1)，则x，y的大小关系是_xy__.

[解析]可以转化为分式，再判断eq\f(x,y)跟1的大小关系．从而确定x，y的大小．x＝eq\r(t＋1)－eq\r(t)＝eq\f(?\r(t＋1)－\r(t)??\r(t＋1)＋\r(t)?,\r(t＋1)＋\r(t))＝eq\f(1,\r(t＋1)＋\r(t)).y＝eq\r(t)－eq\r(t－1)＝eq\f(?\r(t)－\r(t－1)??\r(t)＋\r(t－1)?,\r(t)＋\r(t－1))＝eq\f(1,\r(t)＋\r(t－1)).eq\f(x,y)＝eq\f(\r(t)＋\r(t－1),\r(t)＋\r(t＋1))1.

题组三走向高考

5．(2022·上海卷)已知实数a，b，c，d满足：abcd，则下列选项中正确的是(B)

A．a＋db＋c B．a＋cb＋d

C．adbc D．acbd

[解析]选项A，如取a＝4，b＝3，c＝2，d＝－4，此时a＋db＋c，故A错误；

选项B，a＋cb＋cb＋d，故B正确；

选项C，如取a＝4，b＝－1，c＝－2，d＝－3，此时adbc，故C错误；

选项D，如取a＝4，b＝－1，c＝－2，d＝－3，此时acbd，故D错