2024年高考数学一轮总复习讲义 第三讲　两角和与差的三角函数　二倍角公式.docxVIP

第三讲两角和与差的三角函数二倍角公式

第一课时三角函数公式的基本应用

知识梳理

知识点一两角和与差的正弦、余弦和正切公式

知识点二二倍角的正弦、余弦、正切公式

1．sin2α＝2sinαcosα；

2．cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；

3．tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(kπ,2)＋\f(π,4)且α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).

知识点三半角公式(不要求记忆)

1．sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2))；

2．coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2))；

3．taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(1－cosα,sinα).

归纳拓展

1．常用拆角、拼角技巧：例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝eq\f(α＋β,2)－eq\f(α－β,2)＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；eq\f(π,4)＋α＝eq\f(π,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))等．

2．公式变形：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanα·tanβ)．

eq\f(1－tanα,1＋tanα)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))，eq\f(1＋tanα,1－tanα)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))，

cosα＝eq\f(sin2α,2sinα)，sin2α＝eq\f(2tanα,1＋tan2α).

3．降幂公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2).

4．升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.

5．万能公式：cos2α＝eq\f(1－tan2α,1＋tan2α)，1±sin2α＝(sinα±cosα)2.

6．辅助角(“二合一”)公式：

asinα＋bcosα＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)，

其中cosφ＝eq\f(a,\r(a2＋b2))，sinφ＝eq\f(b,\r(a2＋b2)).

双基自测

题组一走出误区

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)存在实数α，β使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．(√)

(2)在锐角△ABC中，sinAsinB和cosAcosB大小不确定．(×)

(3)eq\r(3)sinα＋cosα＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3))).(×)

(4)y＝3sinx＋4cosx的最大值是7.(×)

(5)公式tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立．(×)

[解析]根据正弦、余弦和正切的和角、差角公式知(2)(3)(4)(5)是错误的，(1)是正确的．

题组二走进教材

2．(必修1P219例4改编)计算sin43°cos13°＋sin47°cos103°的结果等于(A)

A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(3),3)

C．eq\f(\r(2),2) D．eq\f(\r(3),2)

[解析]原式＝sin43°cos13°－cos43°sin13°＝sin(43°－13°)＝sin30°＝eq\f(1,2).故选A．

另解：原式＝cos47°cos13°－sin47°sin13°＝cos(47°＋13°)＝cos60°＝eq\f(1,2).故选A．

3．(必修1P217T3改编)已知α为第三象限角，且cos2α＝eq\f(1,3)，则cosα＝(A)

A．－eq\f(\r(6),3) B．－eq\f(\r(3),3)

C．eq\f(\r(6),3) D．eq\f(\r(3),3)

[解析]由已知利用二倍角的余弦公式可求cos2α＝eq\f(2,3)，结合α为第三象限角，即可求解cosα的