2024年高考数学一轮总复习讲义 第一讲　两个计数原理、排列、组合.docxVIP

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布

考情探究

考题

考点

考向

关键能力

考查要求

核心素养

2023新课标Ⅱ，12

条件概率与全概率公式、相互独立事件

相互独立事件的概率

逻辑思维

应用性

数学运算

逻辑推理

2023新课标Ⅰ，21

离散型随机变量及其分布列、均值与方差

求均值

逻辑思维

应用性

数学运算

逻辑推理

2022新高考Ⅰ，5

古典概型

求概率

运算求解

基础性

数学运算

2022新高考Ⅰ，20；

2022新高考Ⅱ，19；

2021新高考Ⅰ，8

条件概率与全概率公式、相互独立事件

独立性检验、条件概率、判断事件的独立性

运算求解

逻辑思维

应用性

数学运算

数学建模

2022新高考Ⅱ，13

正态分布

求概率

运算求解

基础性

数学运算

2021新高考Ⅰ，18

离散型随机变量及其分布列、均值与方差

离散型随机变量的分布列及期望

数学建模

应用性

数学运算

数学建模

【命题规律与备考策略】

本章内容在选择题、填空题中主要考查排列、组合、二项式定理、古典概型、正态分布等，解答题中常利用排列、组合考查离散型随机变量的分布列、期望、方差、超几何分布、二项分布和正态分布等问题，注意加强阅读理解与信息处理能力．

结合本章内容特点，备考时需重视知识理论的应用思维过程，如概率模型的理解与应用，而关于随机变量的分布列、均值、方差问题则需理解解题思路与思维方向，对有关函数、不等式、数列的概率综合题应加强关注．

第一讲两个计数原理、排列、组合

知识梳理

知识点一两个计数原理

1．分类加法计数原理

完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．

2．分步乘法计数原理

完成一件事需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，……，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．

知识点二排列与排列数

1．排列的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．

2．排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Aeq\o\al(m,n)表示．

3．排列数公式：Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(m，n∈N*，且m≤n).

4．全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，Aeq\o\al(n,n)＝n×(n－1)×(n－2)×…×2×1＝n！.排列数公式写成阶乘的形式为Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,?n－m?！)，这里规定0！＝1.

知识点三组合与组合数

1．组合的定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．

2．组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Ceq\o\al(m,n)表示．

3．组合数的计算公式：Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(n！,m！?n－m?！)＝eq\f(n?n－1??n－2?…?n－m＋1?,m！)，这里规定Ceq\o\al(0,n)＝1.

4．组合数的性质：①Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)；②Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n).

注：应用公式化简、求值、解方程、解不等式时，注意Aeq\o\al(m,n)、Ceq\o\al(m,n)中的隐含条件m≤n，且m，n∈N*.

归纳拓展

1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别

分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互联系、相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．

2．对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑

(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．

(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．

(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数．

双基自测

题组一走出误区

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)在分类加法计数