2025年新高考艺术生数学突破讲义 专题01 集合 含解析 .docx

专题01集合

【知识点梳理】

1、元素与集合

（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．

（2）元素与集合的关系：属于或不属于，数学符号分别记为：和．

（3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（图）．

（4）常见数集和数学符号

数集

自然数集

正整数集

整数集

有理数集

实数集

符号

或

说明：

①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．给定集合，可知，在该集合中，，不在该集合中；

②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的．

集合应满足．

③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分．集合和是同一个集合．

④列举法

把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法．

⑤描述法

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．

具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．

2、集合间的基本关系

（1）子集（subset）：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）．

（2）真子集（propersubset）：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）．读作“真包含于”或“真包含”．

（3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作．

（4）空集的性质：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．

3、集合的基本运算

（1）交集：一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作，即．

（2）并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为与的并集，记作，即．

（3）补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即．

4、集合的运算性质

（1），，．

（2），，．

（3），，．

【方法技巧与总结】

（1）若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个．

（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．

（3）．

（4），．

【典型例题】

例1．（2024·河南·高三专题练习）已知集合，，则（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意，得，，故.

故选：C.

例2．（2024·全国·模拟预测）已知集合则（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意得，，则，

故选:B．

例3．（2024·江西·高三校联考阶段练习）已知集合，，则（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，

由，得，解得，

即，所以.

故选：D

例4．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考期末）设集合，则集合的真子集个数为（????）

A．32 B．31 C．16 D．15

【答案】D

【解析】由得，解得，

又，，

由集合中共有个元素，故的真子集个数为.

故选：D.

例5．（2024·四川成都·高三四川省成都列五中学校考期末）设集合，则集合、的关系是（????）

A．? B．? C． D．

【答案】B

【解析】集合，

集合，

因为，表示被除余的数，，表示被除余的数，

所以?.

故选：B.

例6．（2024·云南大理·统考模拟预测）已知，其中，则（????）

A．0 B．或 C． D．

【答案】B

【解析】由题意知：为方程的根，

当时，；

当时，二次方程有两个相同的根，则有，此时.

故选:B.

例7．（2024·四川泸州·高三四川省泸县第一中学校考期末）设全集，集合，则=（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由题意可知，所以.

故选：C

例8．（多选题）（2024·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第二高级中学校考阶段练习）设集合，，若，则的取值可能是（????）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【解析】因为，

所以或或，

所以或或，

故选：ABD．

例9．（多选题）（2024·江苏扬州·高三统考阶段练习）已知全集为U，A，B是U的非空子集，且，则下列关系一定正确的是（????）

A．且

B．

C．或

D．且

【答案】AB

【解析】因为，所以，

则且，，故AB正确；

若是的真子集，则，则且，故C错误；

因为，所以不存在且，故D错误.

故选：AB.

例10．（2024·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考期末）设集合，若，则实数．

【答案】2

【解析】当时，，此时，