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专题11玩转指对幂比较大小
【方法技巧与总结】
(1)利用函数与方程的思想,构造函数,结合导数研究其单调性或极值,从而确定a,b,c的大小.
(2)指、对、幂大小比较的常用方法:
①底数相同,指数不同时,如和,利用指数函数的单调性;
②指数相同,底数不同,如和利用幂函数单调性比较大小;
③底数相同,真数不同,如和利用指数函数单调性比较大小;
④底数、指数、真数都不同,寻找中间变量0,1或者其它能判断大小关系的中间量,借助中间量进行大小关系的判定.
(3)转化为两函数图象交点的横坐标
(4)特殊值法
【典型例题】
例1.(2024·天津河东·一模)设,则的大小关系为(????)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】,
故,
故选:A
例2.(2024·高三·江苏苏州·阶段练习)若,则(???)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵指数函数在上单调递增,
且,
∴,即.
∵幂函数在上单调递增,且,
∴,即,
∴.
故选:A.
例3.(2024·四川宜宾·二模)已知,则()
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】,
又,且,
所以,即,
所以.
故选:A.
例4.(2024·陕西西安·二模)已知,,,则(????)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为在单调递增,所以.
因为是R上的单调递减函数,所以.
因为是R上的单调递增函数,所以.
所以.
故选:C
例5.(2024·广西来宾·一模)已知,,,则a,b,c的大小关系为(????)
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为,则,
又,,
所以,
故选:A.
例6.(2024·四川宜宾·二模)已知,则(????)
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为,且,即;
;;
所以.
故选:A.
例7.(2024·重庆·模拟预测)设,,,则(????)
A.bca B. C. D.
【答案】B
【解析】又已知,,
得,,,
则,
又,
综上所述,,
故选:B.
例8.(2024·浙江·模拟预测)已知,,则(????)
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设则
,A错误;
,B错误;
,C错误;
,D正确.
故选:D.
例9.(2024·甘肃·模拟预测)三个数,,的大小顺序是(????)
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由函数在上单调递增,则
又由于在上单调递减,则
故
故选:C
例10.(2024·高三·安徽·阶段练习)已知,,,则a、b、c的大小顺序为()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】,又,因为,单调递增,所以.
故选:C
例11.(2024·高三·辽宁·期末)已知,,,则,,的大小顺序为(????)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】,,,所以.
故选:A
例12.(2024·高三·新疆省直辖县级单位·阶段练习)设,则a,b,c的大小顺序是()
A.c<a<b B.c<b<a
C.a<c<b D.b<c<a
【答案】B
【解析】,,;
.
故选:B.
【过关测试】
一、单选题
1.(2024·高二·福建福州·期中)设,则,,的大小顺序为(????)
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为,
令,,
则,
令,,
,,
所以在上单调递增,
在上单调递减,
所以.
故选:A
2.(2024·天津河东·一模)已知,,,则,,的大小顺序为(????)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为,,
,
所以.
故选:C.
3.(2024·高三·内蒙古鄂尔多斯·期中)下列各式大小比较中,其中正确的是(?????)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】,∴,即,选项A错误;
,则,得,故选项B错误;
,选项C错误;
,,∴,选项D正确.
故选:D
4.(2024·天津武清·模拟预测)设,,,则三者的大小顺序是(????)
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由对数函数的性质可知,,
由对数换底公式得:,
由对数函数的性质可知,∴,
由以上判断得:;
故选:A.
5.(2024·天津红桥·一模)设,,,则三者的大小顺序是(????)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为,,,
所以,
故选:B.
6.(2024·高三·全国·阶段练习)已知,,.则a,b,c的大小顺序为(????)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为,所以,
又,,
所以.
故选:D
7.(2024·高一·浙江嘉兴·期中)这三个数的大小顺序是(????)
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为,,,
所以,
故选:C.
8.(2024·北京东城·一模)已知,且,则(????)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】当时,,故AD错
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