2024年高考数学一轮总复习讲义 第二讲　导数在研究函数中的应用 第二课时　导数与函数的极值、最值.pdfVIP

第二课时导数与函数的极值、最值

知识梳理

知识点一函数的极值

1．函数的极值

(1)f(x)xxf(x)

设函数在点附近有定义，如果对附近的所有的点，都有

00

f(x)，那么f(x)是函数f(x)的一个极大值，记作f(x)＝f(x)；如果对x附近的

00极大值00

f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)

所有的点，都有，那么是函数的一个极小值，记作

00极小值

＝f(x)．极大值与极小值统称为极值．

0

(2)f(x)xf(x)()

当函数在处连续时，判别是极大小值的方法：

00

如果xx有f′(x)0，xx有f′(x)0，那么f(x)是极大值．

000

xxf(x)0xxf(x)0f(x)

如果有′，有′，那么是极小值．

000

2．求可导函数f(x)极值的步骤

(1)求导数f′(x)；

(2)求方程f′(x)＝0的根；

(3)f(x)f(x)0

检验′在方程′＝的根左右的值的符号，如果在根的左侧附

近为正，右侧附近为负，那么函数y＝f(x)在这个根处取得极大值；如果在根

的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数y＝f(x)在这个根处取得极小值.

知识点二函数的最值

1．函数的最值的概念

yf(x)[ab](ab)f(x)[ab]

设函数＝在，上连续，在，内可导，函数在，上

一切函数值中的最大(最小)值，叫做函数y＝f(x)的最大(最小)值．

2．连续函数在闭区间[a，b]上一定有最大值和最小值．

3．求函数最值的步骤

yf(x)[ab](ab)f(x)[ab]

设函数＝在，上连续，在，内可导，求在，上的最值，

可分两步进行：

(1)f(x)(ab)

求在，内的极值；

(2)将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一

个是最小值．

归纳拓展

1f(x)0xf(x)

．′＝与是极值点的关系

00

函数f(x)可导，则f′(x)＝0是x为f(x)的极值点的必要不充分条件．例如，

00

3

f(x)xf