2025年新高考艺术生数学突破讲义 专题14 导数的概念与运算 含解析 .docx

专题14导数的概念与运算

【考点预测】

知识点一：导数的概念和几何性质

1、概念

函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或．

知识点诠释：

①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数；

②当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与无限接近；

③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时

刻的瞬间变化率，即．

2、几何意义

函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率．

3、物理意义

函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即．

知识点二：导数的运算

1、求导的基本公式

基本初等函数

导函数

（为常数）

2、导数的四则运算法则

（1）函数和差求导法则：；

（2）函数积的求导法则：；

（3）函数商的求导法则：，则．

3、复合函数求导数

复合函数的导数和函数，的导数间关系为：

【方法技巧与总结】

1、在点的切线方程

切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键．

2、过点的切线方程

设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，

又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）

注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．

【典型例题】

例1．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数，则曲线在处的切线方程为（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由题意知，，

∴曲线在处的切线斜率为，

∴曲线在处的切线方程为，且.

故选：C．

例2．（2024·高二·全国·竞赛）若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为（????）．

A． B． C．2 D．

【答案】A

【解析】∵，设为所求的点，

则

得，，则点P到直线的最小距离为．

故选:A.

例3．（2024·高三·江西抚州·阶段练习）如图1，现有一个底面直径为高为的圆锥容器，以的速度向该容器内注入溶液，随着时间（单位：）的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图2所示，忽略容器的厚度，则当时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设注入溶液的时间为（单位：）时，溶液的高为，

则，得.

因为，

所以当时，，

即圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为.

故选：C

例4．（2024·山东济南·一模）与抛物线和圆都相切的直线的条数为（????）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】D

【解析】设直线与抛物线相切的切点坐标为，由，求导得，

因此抛物线在点处的切线方程为，即，

依题意，此切线与圆相切，于是，解得或，所以所求切线条数为3.

故选：D

例5．（2024·福建漳州·一模）若曲线在点处的切线方程为，则（????）

A．3 B． C．0 D．1

【答案】C

【解析】因为，则，

由题意可得：，解得，所以.

故选：C.

例6．（2024·高三·广东·阶段练习）已知函数在点处的切线与直线垂直，则的最大值为（???）

A．1 B． C． D．2

【答案】A

【解析】，

因为函数在点处的切线与直线垂直，

所以，即，则不可能同时为负数，

当或时，，

当时，，

当时，，

当且仅当时，取等号，

综上所述，的最大值为.

故选：A.

例7．（2024·湖北·一模）已知函数为偶函数，其图像在点处的切线方程为，记的导函数为，则（????）

A． B． C． D．2

【答案】A

【解析】因为为偶函数，所以，两边求导，可得.

又在处的切线方程为：，

所以.

所以.

故选：A

例8．（2024·河南开封·二模）已知函数，则函数的图象在点处的切线方程为（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】函数，求导得，则，而，

所以所求切线方程为，即.

故选：D

例9．（2024·高三·全国·阶段练习）若函数在点处的切线的斜率为1，则的最大值为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由已知，所以，

，得，所以，

当且仅当时等号成立．

故选:C．

例10．（2024·江西上饶·一模）已知函数，则下列说法正确的是（????）

A．的导函数为 B．在上单调递减

C．的最小值为 D．的图象在处的切线方程为

【答案】C

【解析】A：，因此本选项不正确；

B：由上可知：，

当时，，函数单调递增，因此本选项不正确；

C：由上可知：，

当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

所以当时，函数的最小值为，因此本选项正确；

D：由上可知，因为，

所以的图象在处的切线方程为，因此本选项不正确，

故选：C

例11．（2024·高三·山东济宁·开学考试）函数在点处的切线方程为（????）

A． B．

C． D．